Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex2abl Structured version   Unicode version

Theorem gex2abl 15467
 Description: A group with exponent 2 (or 1) is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1
gexex.2 gEx
Assertion
Ref Expression
gex2abl

Proof of Theorem gex2abl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexex.1 . . 3
21a1i 11 . 2
3 eqidd 2438 . 2
4 simpl 445 . 2
5 simp1l 982 . . . . . . . . 9
6 simp2 959 . . . . . . . . 9
7 simp3 960 . . . . . . . . 9
8 eqid 2437 . . . . . . . . . 10
91, 8grpass 14820 . . . . . . . . 9
105, 6, 7, 7, 9syl13anc 1187 . . . . . . . 8
11 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12 .g .g
121, 11, 8mulg2 14900 . . . . . . . . . . 11 .g
137, 12syl 16 . . . . . . . . . 10 .g
14 simp1r 983 . . . . . . . . . . 11
15 gexex.2 . . . . . . . . . . . 12 gEx
16 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12
171, 15, 11, 16gexdvdsi 15218 . . . . . . . . . . 11 .g
185, 7, 14, 17syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 .g
1913, 18eqtr3d 2471 . . . . . . . . 9
2019oveq2d 6098 . . . . . . . 8
211, 8, 16grprid 14837 . . . . . . . . 9
225, 6, 21syl2anc 644 . . . . . . . 8
2310, 20, 223eqtrd 2473 . . . . . . 7
2423oveq1d 6097 . . . . . 6
251, 11, 8mulg2 14900 . . . . . . 7 .g
266, 25syl 16 . . . . . 6 .g
271, 15, 11, 16gexdvdsi 15218 . . . . . . 7 .g
285, 6, 14, 27syl3anc 1185 . . . . . 6 .g
2924, 26, 283eqtr2d 2475 . . . . 5
301, 8grpcl 14819 . . . . . . 7
315, 6, 7, 30syl3anc 1185 . . . . . 6
321, 15, 11, 16gexdvdsi 15218 . . . . . 6 .g
335, 31, 14, 32syl3anc 1185 . . . . 5 .g
341, 11, 8mulg2 14900 . . . . . 6 .g
3531, 34syl 16 . . . . 5 .g
3629, 33, 353eqtr2d 2475 . . . 4
371, 8grpass 14820 . . . . 5
385, 31, 7, 6, 37syl13anc 1187 . . . 4
3936, 38eqtr3d 2471 . . 3
401, 8grpcl 14819 . . . . 5
415, 7, 6, 40syl3anc 1185 . . . 4
421, 8grplcan 14858 . . . 4
435, 31, 41, 31, 42syl13anc 1187 . . 3
4439, 43mpbid 203 . 2
452, 3, 4, 44isabld 15426 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   class class class wbr 4213  cfv 5455  (class class class)co 6082  c2 10050   cdivides 12853  cbs 13470   cplusg 13530  c0g 13724  cgrp 14686  .gcmg 14690  gExcgex 15165  cabel 15414 This theorem is referenced by:  lt6abl  15505 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-seq 11325  df-dvds 12854  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-mulg 14816  df-gex 15169  df-cmn 15415  df-abl 15416
 Copyright terms: Public domain W3C validator