MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl Structured version   Unicode version

Theorem gexcl 15206
Description: The exponent of a group is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
gexcl  |-  ( G  e.  V  ->  E  e.  NN0 )

Proof of Theorem gexcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 gexcl.2 . . . . 5  |-  E  =  (gEx `  G )
5 eqid 2435 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  =  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }
61, 2, 3, 4, 5gexlem1 15205 . . . 4  |-  ( G  e.  V  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) } ) )
7 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( E  =  0  /\ 
{ y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) }  =  (/) )  ->  E  =  0 )
8 elrabi 3082 . . . . 5  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  ->  E  e.  NN )
97, 8orim12i 503 . . . 4  |-  ( ( ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) } )  -> 
( E  =  0  \/  E  e.  NN ) )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  ( E  =  0  \/  E  e.  NN )
)
1110orcomd 378 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( E  e.  NN  \/  E  =  0 ) )
12 elnn0 10215 . 2  |-  ( E  e.  NN0  <->  ( E  e.  NN  \/  E  =  0 ) )
1311, 12sylibr 204 1  |-  ( G  e.  V  ->  E  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   (/)c0 3620   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   0gc0g 13715  .gcmg 14681  gExcgex 15156
This theorem is referenced by:  gexod  15212  cyggex2  15498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-gex 15160
  Copyright terms: Public domain W3C validator