MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl Unicode version

Theorem gexcl 15141
Description: The exponent of a group is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
gexcl  |-  ( G  e.  V  ->  E  e.  NN0 )

Proof of Theorem gexcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2387 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 gexcl.2 . . . . 5  |-  E  =  (gEx `  G )
5 eqid 2387 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  =  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }
61, 2, 3, 4, 5gexlem1 15140 . . . 4  |-  ( G  e.  V  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) } ) )
7 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( E  =  0  /\ 
{ y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) }  =  (/) )  ->  E  =  0 )
8 elrabi 3033 . . . . 5  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  ->  E  e.  NN )
97, 8orim12i 503 . . . 4  |-  ( ( ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) } )  -> 
( E  =  0  \/  E  e.  NN ) )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  ( E  =  0  \/  E  e.  NN )
)
1110orcomd 378 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( E  e.  NN  \/  E  =  0 ) )
12 elnn0 10155 . 2  |-  ( E  e.  NN0  <->  ( E  e.  NN  \/  E  =  0 ) )
1311, 12sylibr 204 1  |-  ( G  e.  V  ->  E  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   {crab 2653   (/)c0 3571   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923   NNcn 9932   NN0cn0 10153   Basecbs 13396   0gc0g 13650  .gcmg 14616  gExcgex 15091
This theorem is referenced by:  gexod  15147  cyggex2  15433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-gex 15095
  Copyright terms: Public domain W3C validator