MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl2 Unicode version

Theorem gexcl2 14916
Description: The exponent of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl2.2  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
gexcl2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  E  e.  NN )

Proof of Theorem gexcl2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl2.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
31, 2odcl2 14894 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )
41, 2oddvds2 14895 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  ||  ( # `  X
) )
53nnzd 10132 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  ZZ )
61grpbn0 14527 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
763ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  X  =/=  (/) )
8 hashnncl 11370 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
983ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
107, 9mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  ( # `
 X )  e.  NN )
11 dvdsle 12590 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( od `  G ) `  x
)  e.  ZZ  /\  ( # `  X )  e.  NN )  -> 
( ( ( od
`  G ) `  x )  ||  ( # `
 X )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  <_  ( # `  X
) ) )
125, 10, 11syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( # `  X
)  ->  ( ( od `  G ) `  x )  <_  ( # `
 X ) ) )
134, 12mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  <_  ( # `  X
) )
1410nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  ( # `
 X )  e.  ZZ )
15 fznn 10868 . . . . . 6  |-  ( (
# `  X )  e.  ZZ  ->  ( (
( od `  G
) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `
 X ) )  <-> 
( ( ( od
`  G ) `  x )  e.  NN  /\  ( ( od `  G ) `  x
)  <_  ( # `  X
) ) ) )
1614, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) )  <->  ( (
( od `  G
) `  x )  e.  NN  /\  ( ( od `  G ) `
 x )  <_ 
( # `  X ) ) ) )
173, 13, 16mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `
 X ) ) )
18173expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( od `  G ) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `  X ) ) )
1918ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  A. x  e.  X  ( ( od `  G ) `  x
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) ) )
20 gexcl2.2 . . 3  |-  E  =  (gEx `  G )
211, 20, 2gexcl3 14914 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( od `  G
) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `
 X ) ) )  ->  E  e.  NN )
2219, 21syldan 456 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  E  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   1c1 8754    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZcz 10040   ...cfz 10798   #chash 11353    || cdivides 12547   Basecbs 13164   Grpcgrp 14378   odcod 14856  gExcgex 14857
This theorem is referenced by:  cyggexb  15201  pgpfac1lem3a  15327  pgpfaclem3  15334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-od 14860  df-gex 14861
  Copyright terms: Public domain W3C validator