MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl2 Structured version   Unicode version

Theorem gexcl2 15215
Description: The exponent of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl2.2  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
gexcl2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  E  e.  NN )

Proof of Theorem gexcl2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl2.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
31, 2odcl2 15193 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )
41, 2oddvds2 15194 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  ||  ( # `  X
) )
53nnzd 10366 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  ZZ )
61grpbn0 14826 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
763ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  X  =/=  (/) )
8 hashnncl 11637 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
983ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
107, 9mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  ( # `
 X )  e.  NN )
11 dvdsle 12887 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( od `  G ) `  x
)  e.  ZZ  /\  ( # `  X )  e.  NN )  -> 
( ( ( od
`  G ) `  x )  ||  ( # `
 X )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  <_  ( # `  X
) ) )
125, 10, 11syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( # `  X
)  ->  ( ( od `  G ) `  x )  <_  ( # `
 X ) ) )
134, 12mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  <_  ( # `  X
) )
1410nnzd 10366 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  ( # `
 X )  e.  ZZ )
15 fznn 11107 . . . . . 6  |-  ( (
# `  X )  e.  ZZ  ->  ( (
( od `  G
) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `
 X ) )  <-> 
( ( ( od
`  G ) `  x )  e.  NN  /\  ( ( od `  G ) `  x
)  <_  ( # `  X
) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) )  <->  ( (
( od `  G
) `  x )  e.  NN  /\  ( ( od `  G ) `
 x )  <_ 
( # `  X ) ) ) )
173, 13, 16mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `
 X ) ) )
18173expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( od `  G ) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `  X ) ) )
1918ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  A. x  e.  X  ( ( od `  G ) `  x
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) ) )
20 gexcl2.2 . . 3  |-  E  =  (gEx `  G )
211, 20, 2gexcl3 15213 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( od `  G
) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `
 X ) ) )  ->  E  e.  NN )
2219, 21syldan 457 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  E  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   1c1 8983    <_ cle 9113   NNcn 9992   ZZcz 10274   ...cfz 11035   #chash 11610    || cdivides 12844   Basecbs 13461   Grpcgrp 14677   odcod 15155  gExcgex 15156
This theorem is referenced by:  cyggexb  15500  pgpfac1lem3a  15626  pgpfaclem3  15633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-eqg 14935  df-od 15159  df-gex 15160
  Copyright terms: Public domain W3C validator