MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl3 Structured version   Unicode version

Theorem gexcl3 15221
Description: If the order of every group element is bounded by  N, the group has finite exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexod.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexod.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexod.3  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
gexcl3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E  e.  NN )
Distinct variable groups:    x, E    x, G    x, N    x, X
Allowed substitution hint:    O( x)

Proof of Theorem gexcl3
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  G  e.  Grp )
2 gexod.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
32grpbn0 14834 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
4 r19.2z 3717 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N
) )  ->  E. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )
53, 4sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )
6 elfzuz2 11062 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7 nnuz 10521 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
86, 7syl6eleqr 2527 . . . . . . 7  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
98rexlimivw 2826 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
105, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
1110nnnn0d 10274 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
12 faccl 11576 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  -> 
( ! `  N
)  e.  NN )
14 elfzuzb 11053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( ( O `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  ( O `  x ) ) ) )
15 elnnuz 10522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  x )  e.  NN  <->  ( O `  x )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
16 dvdsfac 12904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( O `  x ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N
) )
1715, 16sylanbr 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( O `  x ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N )
)
1814, 17sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N
) )
1918adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N )
)
20 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  x  e.  X )
228adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
2322nnnn0d 10274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
2423, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
2524nnzd 10374 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
26 gexod.3 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
27 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
28 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
292, 26, 27, 28oddvds 15185 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  ( ! `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  x )  ||  ( ! `  N )  <->  ( ( ! `  N
) (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
3020, 21, 25, 29syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( O `  x )  ||  ( ! `  N
)  <->  ( ( ! `
 N ) (.g `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
3119, 30mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ! `  N )
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )
3231ex 424 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ( ! `
 N ) (.g `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
3332ralimdva 2784 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  A. x  e.  X  ( ( ! `  N )
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
3433imp 419 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( ! `  N ) (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
35 gexod.2 . . . 4  |-  E  =  (gEx `  G )
362, 35, 27, 28gexlem2 15216 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ! `  N )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
( ! `  N
) (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )  ->  E  e.  ( 1 ... ( ! `
 N ) ) )
371, 13, 34, 36syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E  e.  ( 1 ... ( ! `  N ) ) )
38 elfznn 11080 . 2  |-  ( E  e.  ( 1 ... ( ! `  N
) )  ->  E  e.  NN )
3937, 38syl 16 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1c1 8991   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   !cfa 11566    || cdivides 12852   Basecbs 13469   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685  .gcmg 14689   odcod 15163  gExcgex 15164
This theorem is referenced by:  gexcl2  15223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-od 15167  df-gex 15168
  Copyright terms: Public domain W3C validator