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Theorem gexexlem 15467
Description: Lemma for gexex 15468. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexex.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexex.3  |-  O  =  ( od `  G
)
gexexlem.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
gexexlem.2  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
gexexlem.3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
gexexlem.4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( O `  y )  <_  ( O `  A
) )
Assertion
Ref Expression
gexexlem  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
Distinct variable groups:    y, A    y, E    y, G    y, O    ph, y    y, X

Proof of Theorem gexexlem
Dummy variables  x  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexexlem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
2 gexex.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 gexex.3 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
42, 3odcl 15174 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
6 gexexlem.2 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
76nnnn0d 10274 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
8 gexexlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
9 ablgrp 15417 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
11 gexex.2 . . . 4  |-  E  =  (gEx `  G )
122, 11, 3gexod 15220 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  ||  E )
1310, 1, 12syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  ||  E )
148ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
1510ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  G  e.  Grp )
16 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
1716adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  NN )
18 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
196ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  E  e.  NN )
201ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  X )
212, 11, 3gexnnod 15222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
2215, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
2318, 22pccld 13224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
2417, 23nnexpcld 11544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN )
2524nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  ZZ )
26 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
272, 26mulgcl 14907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
2815, 25, 20, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
29 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  x  e.  X )
302, 11, 3gexnnod 15222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
3115, 19, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
32 pcdvds 13237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( O `  x )  e.  NN )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) 
||  ( O `  x ) )
3318, 31, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) 
||  ( O `  x ) )
3418, 31pccld 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  e. 
NN0 )
3517, 34nnexpcld 11544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN )
36 nndivdvds 12858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  NN  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN )  -> 
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  ||  ( O `  x )  <->  ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  NN ) )
3731, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) 
||  ( O `  x )  <->  ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) )  e.  NN ) )
3833, 37mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  NN )
3938nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ )
402, 26mulgcl 14907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )
4115, 39, 29, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )
422, 3, 26odmulg 15192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( O `  A
)  =  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) ) )
4315, 20, 25, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  =  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) ) )
44 pcdvds 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) 
||  ( O `  A ) )
4518, 22, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) 
||  ( O `  A ) )
46 gcdeq 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  gcd  ( O `  A )
)  =  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  ||  ( O `  A )
) )
4724, 22, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  gcd  ( O `  A )
)  =  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  ||  ( O `  A )
) )
4845, 47mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  gcd  ( O `  A ) )  =  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )
4948oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ) )  =  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ) ) )
5043, 49eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  =  ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) ) )
5150oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  =  ( ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
522, 11, 3gexnnod 15222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )  ->  ( O `  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) )  e.  NN )
5315, 19, 28, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  e.  NN )
5453nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  e.  CC )
5524nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  CC )
5624nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  =/=  0 )
5754, 55, 56divcan3d 9795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  x.  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  =  ( O `
 ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ) )
5851, 57eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  =  ( ( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
592, 11, 3gexnnod 15222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )  ->  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  NN )
6015, 19, 41, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  NN )
6160nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  CC )
6235nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  CC )
6338nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  CC )
6438nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =/=  0 )
6531nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  x )  e.  CC )
6635nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  =/=  0 )
6765, 62, 66divcan1d 9791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =  ( O `  x
) )
682, 3, 26odmulg 15192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( O `  x )  =  ( ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  x.  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
6915, 29, 39, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  x )  =  ( ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `  x
) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
7035nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  ZZ )
71 dvdsmul1 12871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
7239, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
7372, 67breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( O `  x ) )
74 gcdeq 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  NN  /\  ( O `  x )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) )  gcd  ( O `  x
) )  =  ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <->  ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) )  ||  ( O `  x ) ) )
7538, 31, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  =  ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <->  ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( O `
 x ) ) )
7673, 75mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  =  ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
7776oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  x.  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( O `
 ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
7867, 69, 773eqtrrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( O `
 ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
7961, 62, 63, 64, 78mulcanad 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  =  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )
8058, 79oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  gcd  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
81 nndivdvds 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN )  -> 
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  ||  ( O `  A )  <->  ( ( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  NN ) )
8222, 24, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) 
||  ( O `  A )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  e.  NN ) )
8345, 82mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  NN )
8483nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ )
85 gcdcom 13020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) ) )
8684, 70, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) ) )
87 pcndvds2 13241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  -.  p  ||  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
8818, 22, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  -.  p  ||  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
89 coprm 13100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  p  ||  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <->  ( p  gcd  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9018, 84, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  ||  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <->  ( p  gcd  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9188, 90mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  gcd  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) ) )  =  1 )
92 prmz 13083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
94 rpexp1i 13121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p  pCnt  ( O `
 x ) )  e.  NN0 )  -> 
( ( p  gcd  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1  ->  ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) )  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9593, 84, 34, 94syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  gcd  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9691, 95mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  gcd  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 )
9780, 86, 963eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  gcd  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  1 )
98 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
993, 2, 98odadd 15465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A )  e.  X  /\  ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )  /\  ( ( O `  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) )  gcd  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  1 )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
10014, 28, 41, 97, 99syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
10158, 79oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
102100, 101eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
1032, 98grpcl 14818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A )  e.  X  /\  ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )  -> 
( ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  X
)
10415, 28, 41, 103syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  X
)
105 gexexlem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( O `  y )  <_  ( O `  A
) )
106105ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  ( O `  y )  <_  ( O `  A ) )
107106ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  A. y  e.  X  ( O `  y )  <_  ( O `  A )
)
108 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) )  ->  ( O `  y )  =  ( O `  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
109108breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) )  ->  ( ( O `  y )  <_  ( O `  A
)  <->  ( O `  ( ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  <_ 
( O `  A
) ) )
110109rspcv 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  ( O `  y )  <_  ( O `  A )  ->  ( O `  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  <_ 
( O `  A
) ) )
111104, 107, 110sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  <_  ( O `  A )
)
112102, 111eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <_ 
( O `  A
) )
11383nnred 10015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  RR )
11422nnred 10015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  e.  RR )
11535nnrpd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+ )
116113, 114, 115lemuldivd 10693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <_ 
( O `  A
)  <->  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  <_  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) ) )
117112, 116mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
118 nnrp 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+ )
119 nnrp 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR+ )
120 nnrp 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
121 rpregt0 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+  ->  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
122 rpregt0 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR+  ->  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
123 rpregt0 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O `  A )  e.  RR+  ->  ( ( O `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( O `  A
) ) )
124 lediv2 9900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  /\  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  /\  ( ( O `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( O `
 A ) ) )  ->  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
125121, 122, 123, 124syl3an 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+  /\  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR+  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
126118, 119, 120, 125syl3an 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN  /\  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
12735, 24, 22, 126syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
128117, 127mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )
12917nnred 10015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
13034nn0zd 10373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  e.  ZZ )
13123nn0zd 10373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
132 prmuz2 13097 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
133132adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
134 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
135134simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
136133, 135syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  1  <  p )
137129, 130, 131, 136leexp2d 11553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p  pCnt  ( O `  x )
)  <_  ( p  pCnt  ( O `  A
) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
138128, 137mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  <_ 
( p  pCnt  ( O `  A )
) )
139138ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( O `  x ) )  <_  ( p  pCnt  ( O `  A
) ) )
1402, 3odcl 15174 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
141140adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
142141nn0zd 10373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
1435nn0zd 10373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
144143adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
145 pc2dvds 13252 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  x )  ||  ( O `  A )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  <_ 
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )
146142, 144, 145syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( O `  x
)  ||  ( O `  A )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( O `  x ) )  <_  ( p  pCnt  ( O `  A
) ) ) )
147139, 146mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  ||  ( O `  A
) )
148147ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( O `  x ) 
||  ( O `  A ) )
1492, 11, 3gexdvds2 15219 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( E  ||  ( O `  A )  <->  A. x  e.  X  ( O `  x ) 
||  ( O `  A ) ) )
15010, 143, 149syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  ||  ( O `  A )  <->  A. x  e.  X  ( O `  x ) 
||  ( O `  A ) ) )
151148, 150mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  E  ||  ( O `
 A ) )
152 dvdseq 12897 . 2  |-  ( ( ( ( O `  A )  e.  NN0  /\  E  e.  NN0 )  /\  ( ( O `  A )  ||  E  /\  E  ||  ( O `
 A ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
1535, 7, 13, 151, 152syl22anc 1185 1  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ^cexp 11382    || cdivides 12852    gcd cgcd 13006   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   Grpcgrp 14685  .gcmg 14689   odcod 15163  gExcgex 15164   Abelcabel 15413
This theorem is referenced by:  gexex  15468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-od 15167  df-gex 15168  df-cmn 15414  df-abl 15415
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