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Theorem gexexlem 15160
Description: Lemma for gexex 15161. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexex.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexex.3  |-  O  =  ( od `  G
)
gexexlem.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
gexexlem.2  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
gexexlem.3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
gexexlem.4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( O `  y )  <_  ( O `  A
) )
Assertion
Ref Expression
gexexlem  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
Distinct variable groups:    y, A    y, E    y, G    y, O    ph, y    y, X

Proof of Theorem gexexlem
Dummy variables  x  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexexlem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
2 gexex.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 gexex.3 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
42, 3odcl 14867 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
51, 4syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
6 gexexlem.2 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
76nnnn0d 10034 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
8 gexexlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
9 ablgrp 15110 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
11 gexex.2 . . . 4  |-  E  =  (gEx `  G )
122, 11, 3gexod 14913 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  ||  E )
1310, 1, 12syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  ||  E )
148ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
1510ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  G  e.  Grp )
16 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
1716adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  NN )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
196ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  E  e.  NN )
201ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  X )
212, 11, 3gexnnod 14915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
2215, 19, 20, 21syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
2318, 22pccld 12919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
2417, 23nnexpcld 11282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN )
2524nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  ZZ )
26 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
272, 26mulgcl 14600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
2815, 25, 20, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
29 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  x  e.  X )
302, 11, 3gexnnod 14915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
3115, 19, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
32 pcdvds 12932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( O `  x )  e.  NN )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) 
||  ( O `  x ) )
3318, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) 
||  ( O `  x ) )
3418, 31pccld 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  e. 
NN0 )
3517, 34nnexpcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN )
36 nndivdvds 12553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  NN  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN )  -> 
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  ||  ( O `  x )  <->  ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  NN ) )
3731, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) 
||  ( O `  x )  <->  ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) )  e.  NN ) )
3833, 37mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  NN )
3938nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ )
402, 26mulgcl 14600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )
4115, 39, 29, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )
422, 3, 26odmulg 14885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( O `  A
)  =  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) ) )
4315, 20, 25, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  =  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) ) )
44 pcdvds 12932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) 
||  ( O `  A ) )
4518, 22, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) 
||  ( O `  A ) )
46 gcdeq 12747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  gcd  ( O `  A )
)  =  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  ||  ( O `  A )
) )
4724, 22, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  gcd  ( O `  A )
)  =  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  ||  ( O `  A )
) )
4845, 47mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  gcd  ( O `  A ) )  =  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )
4948oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ) )  =  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ) ) )
5043, 49eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  =  ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) ) )
5150oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  =  ( ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
522, 11, 3gexnnod 14915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )  ->  ( O `  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) )  e.  NN )
5315, 19, 28, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  e.  NN )
5453nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  e.  CC )
5524nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  CC )
5624nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  =/=  0 )
5754, 55, 56divcan3d 9557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  x.  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  =  ( O `
 ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ) )
5851, 57eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  =  ( ( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
5931nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  x )  e.  CC )
6035nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  CC )
6135nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  =/=  0 )
6259, 60, 61divcan1d 9553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =  ( O `  x
) )
632, 3, 26odmulg 14885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( O `  x )  =  ( ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  x.  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
6415, 29, 39, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  x )  =  ( ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `  x
) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
6535nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  ZZ )
66 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
6739, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
6867, 62breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( O `  x ) )
69 gcdeq 12747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  NN  /\  ( O `  x )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) )  gcd  ( O `  x
) )  =  ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <->  ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) )  ||  ( O `  x ) ) )
7038, 31, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  =  ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <->  ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( O `
 x ) ) )
7168, 70mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  =  ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
7271oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  x.  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( O `
 ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
7362, 64, 723eqtrrd 2333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( O `
 ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
742, 11, 3gexnnod 14915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )  ->  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  NN )
7515, 19, 41, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  NN )
7675nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  CC )
7738nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  CC )
7838nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =/=  0 )
7976, 60, 77, 78mulcand 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( O `
 ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <->  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  =  ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
8073, 79mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  =  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )
8158, 80oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  gcd  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
82 nndivdvds 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN )  -> 
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  ||  ( O `  A )  <->  ( ( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  NN ) )
8322, 24, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) 
||  ( O `  A )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  e.  NN ) )
8445, 83mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  NN )
8584nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ )
86 gcdcom 12715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) ) )
8785, 65, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) ) )
88 pcndvds2 12936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  -.  p  ||  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
8918, 22, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  -.  p  ||  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
90 coprm 12795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  p  ||  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <->  ( p  gcd  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9118, 85, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  ||  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <->  ( p  gcd  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9289, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  gcd  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) ) )  =  1 )
93 prmz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
9493adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
95 rpexp1i 12816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p  pCnt  ( O `
 x ) )  e.  NN0 )  -> 
( ( p  gcd  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1  ->  ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) )  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9694, 85, 34, 95syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  gcd  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9792, 96mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  gcd  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 )
9881, 87, 973eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  gcd  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  1 )
99 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
1003, 2, 99odadd 15158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A )  e.  X  /\  ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )  /\  ( ( O `  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) )  gcd  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  1 )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
10114, 28, 41, 98, 100syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
10258, 80oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
103101, 102eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
1042, 99grpcl 14511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A )  e.  X  /\  ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )  -> 
( ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  X
)
10515, 28, 41, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  X
)
106 gexexlem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( O `  y )  <_  ( O `  A
) )
107106ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  ( O `  y )  <_  ( O `  A ) )
108107ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  A. y  e.  X  ( O `  y )  <_  ( O `  A )
)
109 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) )  ->  ( O `  y )  =  ( O `  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
110109breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) )  ->  ( ( O `  y )  <_  ( O `  A
)  <->  ( O `  ( ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  <_ 
( O `  A
) ) )
111110rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  ( O `  y )  <_  ( O `  A )  ->  ( O `  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  <_ 
( O `  A
) ) )
112105, 108, 111sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  <_  ( O `  A )
)
113103, 112eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <_ 
( O `  A
) )
11484nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  RR )
11522nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  e.  RR )
11635nnrpd 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+ )
117114, 115, 116lemuldivd 10451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <_ 
( O `  A
)  <->  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  <_  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) ) )
118113, 117mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
119 nnrp 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+ )
120 nnrp 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR+ )
121 nnrp 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
122 rpregt0 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+  ->  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
123 rpregt0 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR+  ->  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
124 rpregt0 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O `  A )  e.  RR+  ->  ( ( O `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( O `  A
) ) )
125 lediv2 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  /\  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  /\  ( ( O `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( O `
 A ) ) )  ->  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
126122, 123, 124, 125syl3an 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+  /\  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR+  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
127119, 120, 121, 126syl3an 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN  /\  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
12835, 24, 22, 127syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
129118, 128mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )
13017nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
13134nn0zd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  e.  ZZ )
13223nn0zd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
133 prmuz2 12792 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
134133adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
135 eluz2b2 10306 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
136135simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
137134, 136syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  1  <  p )
138130, 131, 132, 137leexp2d 11291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p  pCnt  ( O `  x )
)  <_  ( p  pCnt  ( O `  A
) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
139129, 138mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  <_ 
( p  pCnt  ( O `  A )
) )
140139ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( O `  x ) )  <_  ( p  pCnt  ( O `  A
) ) )
1412, 3odcl 14867 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
142141adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
143142nn0zd 10131 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
1445nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
145144adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
146 pc2dvds 12947 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  x )  ||  ( O `  A )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  <_ 
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )
147143, 145, 146syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( O `  x
)  ||  ( O `  A )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( O `  x ) )  <_  ( p  pCnt  ( O `  A
) ) ) )
148140, 147mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  ||  ( O `  A
) )
149148ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( O `  x ) 
||  ( O `  A ) )
1502, 11, 3gexdvds2 14912 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( E  ||  ( O `  A )  <->  A. x  e.  X  ( O `  x ) 
||  ( O `  A ) ) )
15110, 144, 150syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  ||  ( O `  A )  <->  A. x  e.  X  ( O `  x ) 
||  ( O `  A ) ) )
152149, 151mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  E  ||  ( O `
 A ) )
153 dvdseq 12592 . 2  |-  ( ( ( ( O `  A )  e.  NN0  /\  E  e.  NN0 )  /\  ( ( O `  A )  ||  E  /\  E  ||  ( O `
 A ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
1545, 7, 13, 152, 153syl22anc 1183 1  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ^cexp 11120    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382   odcod 14856  gExcgex 14857   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  gexex  15161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-od 14860  df-gex 14861  df-cmn 15107  df-abl 15108
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