MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexid Structured version   Unicode version

Theorem gexid 15207
Description: Any element to the power of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gexid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gexid  |-  ( A  e.  X  ->  ( E  .x.  A )  =  .0.  )

Proof of Theorem gexid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . 4  |-  ( E  =  0  ->  ( E  .x.  A )  =  ( 0  .x.  A
) )
2 gexcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 gexid.4 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 gexid.3 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 14887 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  (
0  .x.  A )  =  .0.  )
61, 5sylan9eqr 2489 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  E  =  0 )  ->  ( E  .x.  A )  =  .0.  )
76adantrr 698 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ) )  -> 
( E  .x.  A
)  =  .0.  )
8 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( y  =  E  ->  (
y  .x.  x )  =  ( E  .x.  x ) )
98eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( y  =  E  ->  (
( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( E  .x.  x )  =  .0.  ) )
109ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( y  =  E  ->  ( A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( E  .x.  x )  =  .0.  ) )
1110elrab 3084 . . . 4  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  <->  ( E  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( E  .x.  x )  =  .0.  ) )
1211simprbi 451 . . 3  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  A. x  e.  X  ( E  .x.  x )  =  .0.  )
13 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( E  .x.  x )  =  ( E  .x.  A
) )
1413eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( E  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( E  .x.  A )  =  .0.  ) )
1514rspcva 3042 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( E  .x.  x )  =  .0.  )  -> 
( E  .x.  A
)  =  .0.  )
1612, 15sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  ( E  .x.  A )  =  .0.  )
17 elfvex 5750 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Base `  G
)  ->  G  e.  _V )
1817, 2eleq2s 2527 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  G  e.  _V )
19 gexcl.2 . . . 4  |-  E  =  (gEx `  G )
20 eqid 2435 . . . 4  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
212, 4, 3, 19, 20gexlem1 15205 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ) )
2218, 21syl 16 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ) )
237, 16, 22mpjaodan 762 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( E  .x.  A )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   NNcn 9992   Basecbs 13461   0gc0g 13715  .gcmg 14681  gExcgex 15156
This theorem is referenced by:  gexdvdsi  15209  gexod  15212  gex1  15217  pgpfac1lem3a  15626
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-mulg 14807  df-gex 15160
  Copyright terms: Public domain W3C validator