MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexid Unicode version

Theorem gexid 14892
Description: Any element to the power of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gexid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gexid  |-  ( A  e.  X  ->  ( E  .x.  A )  =  .0.  )

Proof of Theorem gexid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . 4  |-  ( E  =  0  ->  ( E  .x.  A )  =  ( 0  .x.  A
) )
2 gexcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 gexid.4 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 gexid.3 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 14572 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  (
0  .x.  A )  =  .0.  )
61, 5sylan9eqr 2337 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  E  =  0 )  ->  ( E  .x.  A )  =  .0.  )
76adantrr 697 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ) )  -> 
( E  .x.  A
)  =  .0.  )
8 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( y  =  E  ->  (
y  .x.  x )  =  ( E  .x.  x ) )
98eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( y  =  E  ->  (
( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( E  .x.  x )  =  .0.  ) )
109ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( y  =  E  ->  ( A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( E  .x.  x )  =  .0.  ) )
1110elrab 2923 . . . 4  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  <->  ( E  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( E  .x.  x )  =  .0.  ) )
1211simprbi 450 . . 3  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  A. x  e.  X  ( E  .x.  x )  =  .0.  )
13 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( E  .x.  x )  =  ( E  .x.  A
) )
1413eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( E  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( E  .x.  A )  =  .0.  ) )
1514rspcva 2882 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( E  .x.  x )  =  .0.  )  -> 
( E  .x.  A
)  =  .0.  )
1612, 15sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  ( E  .x.  A )  =  .0.  )
17 elfvex 5555 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Base `  G
)  ->  G  e.  _V )
1817, 2eleq2s 2375 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  G  e.  _V )
19 gexcl.2 . . . 4  |-  E  =  (gEx `  G )
20 eqid 2283 . . . 4  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
212, 4, 3, 19, 20gexlem1 14890 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ) )
2218, 21syl 15 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ) )
237, 16, 22mpjaodan 761 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( E  .x.  A )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   NNcn 9746   Basecbs 13148   0gc0g 13400  .gcmg 14366  gExcgex 14841
This theorem is referenced by:  gexdvdsi  14894  gexod  14897  gex1  14902  pgpfac1lem3a  15311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-mulg 14492  df-gex 14845
  Copyright terms: Public domain W3C validator