MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexlem2 Structured version   Unicode version

Theorem gexlem2 15218
Description: Any positive annihilator of all the group elements is an upper bound on the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gexid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gexlem2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  e.  ( 1 ... N
) )
Distinct variable groups:    x, E    x, G    x, N    x, V    x, X    x,  .0.    x, 
.x.

Proof of Theorem gexlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
y  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
21eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
32ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
43elrab 3094 . . 3  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  <->  ( N  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
5 gexcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 gexid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 gexid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
8 gexcl.2 . . . . . 6  |-  E  =  (gEx `  G )
9 eqid 2438 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
105, 6, 7, 8, 9gexval 15214 . . . . 5  |-  ( G  e.  V  ->  E  =  if ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
11 ne0i 3636 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =/=  (/) )
12 ifnefalse 3749 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =/=  (/)  ->  if ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  if ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )
1410, 13sylan9eq 2490 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  E  =  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )
15 ssrab2 3430 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  C_  NN
16 nnuz 10523 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16sseqtri 3382 . . . . . . 7  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
1811adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =/=  (/) )
19 infmssuzcl 10561 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =/=  (/) )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )
2017, 18, 19sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )
2115, 20sseldi 3348 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
22 infmssuzle 10560 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
2317, 22mpan 653 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
2423adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
25 elrabi 3092 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  N  e.  NN )
2625nnzd 10376 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  N  e.  ZZ )
27 fznn 11117 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2928adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
3021, 24, 29mpbir2and 890 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N ) )
3114, 30eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  E  e.  ( 1 ... N
) )
324, 31sylan2br 464 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( N  e.  NN  /\ 
A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  E  e.  ( 1 ... N ) )
33323impb 1150 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  e.  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   class class class wbr 4214   `'ccnv 4879   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    < clt 9122    <_ cle 9123   NNcn 10002   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045   Basecbs 13471   0gc0g 13725  .gcmg 14691  gExcgex 15166
This theorem is referenced by:  gexdvds  15220  gexcl3  15223  gex1  15227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-gex 15170
  Copyright terms: Public domain W3C validator