MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexnnod Structured version   Unicode version

Theorem gexnnod 15222
Description: Every group element has finite order if the exponent is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexod.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexod.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexod.3  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
gexnnod  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN )

Proof of Theorem gexnnod
StepHypRef Expression
1 nnne0 10032 . . . . 5  |-  ( E  e.  NN  ->  E  =/=  0 )
213ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  E  =/=  0 )
3 nnz 10303 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  ZZ )
433ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  E  e.  ZZ )
5 0dvds 12870 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ZZ  ->  (
0  ||  E  <->  E  = 
0 ) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  (
0  ||  E  <->  E  = 
0 ) )
76necon3bbid 2635 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( -.  0  ||  E  <->  E  =/=  0 ) )
82, 7mpbird 224 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  -.  0  ||  E )
9 gexod.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
10 gexod.2 . . . . . 6  |-  E  =  (gEx `  G )
11 gexod.3 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
129, 10, 11gexod 15220 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  ||  E )
13123adant2 976 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  ||  E )
14 breq1 4215 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  =  0  ->  (
( O `  A
)  ||  E  <->  0  ||  E ) )
1513, 14syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  =  0  -> 
0  ||  E )
)
168, 15mtod 170 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  -.  ( O `  A )  =  0 )
179, 11odcl 15174 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
18173ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
19 elnn0 10223 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  <->  ( ( O `
 A )  e.  NN  \/  ( O `
 A )  =  0 ) )
2018, 19sylib 189 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  e.  NN  \/  ( O `  A )  =  0 ) )
2120ord 367 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( -.  ( O `  A
)  e.  NN  ->  ( O `  A )  =  0 ) )
2216, 21mt3d 119 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   0cc0 8990   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282    || cdivides 12852   Basecbs 13469   Grpcgrp 14685   odcod 15163  gExcgex 15164
This theorem is referenced by:  gexexlem  15467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-od 15167  df-gex 15168
  Copyright terms: Public domain W3C validator