Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexval Structured version   Unicode version

Theorem gexval 15217
 Description: Value of the exponent of a group. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexval.1
gexval.2 .g
gexval.3
gexval.4 gEx
gexval.i
Assertion
Ref Expression
gexval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem gexval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexval.4 . 2 gEx
2 df-gex 15173 . . . 4 gEx .g
32a1i 11 . . 3 gEx .g
4 nnex 10011 . . . . . 6
54rabex 4357 . . . . 5 .g
65a1i 11 . . . 4 .g
7 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
87fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12
9 gexval.1 . . . . . . . . . . . 12
108, 9syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11
117fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14 .g .g
12 gexval.2 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
1311, 12syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . 13 .g
1413oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12 .g
157fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13
16 gexval.3 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . 12
1814, 17eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11 .g
1910, 18raleqbidv 2918 . . . . . . . . . 10 .g
2019rabbidv 2950 . . . . . . . . 9 .g
21 gexval.i . . . . . . . . 9
2220, 21syl6eqr 2488 . . . . . . . 8 .g
2322eqeq2d 2449 . . . . . . 7 .g
2423biimpa 472 . . . . . 6 .g
2524eqeq1d 2446 . . . . 5 .g
2624supeq1d 7454 . . . . 5 .g
2725, 26ifbieq2d 3761 . . . 4 .g
286, 27csbied 3295 . . 3 .g
29 elex 2966 . . 3
30 c0ex 9090 . . . . 5
31 ltso 9161 . . . . . . 7
32 cnvso 5414 . . . . . . 7
3331, 32mpbi 201 . . . . . 6
3433supex 7471 . . . . 5
3530, 34ifex 3799 . . . 4
3635a1i 11 . . 3
373, 28, 29, 36fvmptd 5813 . 2 gEx
381, 37syl5eq 2482 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711  cvv 2958  csb 3253  c0 3630  cif 3741   cmpt 4269   wor 4505  ccnv 4880  cfv 5457  (class class class)co 6084  csup 7448  cr 8994  cc0 8995   clt 9125  cn 10005  cbs 13474  c0g 13728  .gcmg 14694  gExcgex 15169 This theorem is referenced by:  gexlem1  15218  gexlem2  15221 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-nn 10006  df-gex 15173
 Copyright terms: Public domain W3C validator