Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghablo Structured version   Unicode version

Theorem ghablo 21957
 Description: The image of an Abelian group under a group homomorphism is an Abelian group (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghgrp.1
ghgrp.2
ghgrp.3
ghgrp.4
ghgrp.5
ghgrp.6
ghablo.7
Assertion
Ref Expression
ghablo
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ghablo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghgrp.1 . . 3
2 ghgrp.2 . . 3
3 ghgrp.3 . . 3
4 ghgrp.4 . . 3
5 ghgrp.5 . . 3
6 ghgrp.6 . . 3
7 ghablo.7 . . . 4
8 ablogrpo 21872 . . . 4
97, 8syl 16 . . 3
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9ghgrp 21956 . 2
11 fndm 5544 . . . . . . . . 9
126, 11syl 16 . . . . . . . 8
133resgrprn 21868 . . . . . . . 8
1412, 10, 5, 13syl3anc 1184 . . . . . . 7
1514eleq2d 2503 . . . . . 6
1614eleq2d 2503 . . . . . 6
1715, 16anbi12d 692 . . . . 5
1817biimpar 472 . . . 4
197adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
20 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13
21 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13
224ablocom 21873 . . . . . . . . . . . . 13
2319, 20, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
2423fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
251, 2, 3ghgrplem2 21955 . . . . . . . . . . 11
261, 2, 3ghgrplem2 21955 . . . . . . . . . . . 12
2726ancom2s 778 . . . . . . . . . . 11
2824, 25, 273eqtr3d 2476 . . . . . . . . . 10
2928ancom2s 778 . . . . . . . . 9
3029expr 599 . . . . . . . 8
31 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10
32 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10
3331, 32eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9
3433imbi2d 308 . . . . . . . 8
351, 30, 34ghgrplem1 21954 . . . . . . 7
3635impancom 428 . . . . . 6
37 oveq1 6088 . . . . . . . 8
38 oveq2 6089 . . . . . . . 8
3937, 38eqeq12d 2450 . . . . . . 7
4039imbi2d 308 . . . . . 6
411, 36, 40ghgrplem1 21954 . . . . 5
4241impr 603 . . . 4
4318, 42syldan 457 . . 3
4443ralrimivva 2798 . 2
45 eqid 2436 . . 3
4645isablo 21871 . 2
4710, 44, 46sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   wss 3320   cxp 4876   cdm 4878   crn 4879   cres 4880   wfn 5449  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081  cgr 21774  cablo 21869 This theorem is referenced by:  ghsubgolem  21958 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870
 Copyright terms: Public domain W3C validator