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Theorem ghgrp 21035
 Description: The image of a group under a group homomorphism is a group. This is a stronger result than that usually found in the literature, since the target of the homomorphism (operator in our model) need not have any of the properties of a group as a prerequisite. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghgrp.1
ghgrp.2
ghgrp.3
ghgrp.4
ghgrp.5
ghgrp.6
ghgrp.7
Assertion
Ref Expression
ghgrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ghgrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghgrp.4 . . . 4
2 ghgrp.7 . . . . 5
3 rnexg 4940 . . . . 5
42, 3syl 15 . . . 4
51, 4syl5eqel 2367 . . 3
6 ghgrp.1 . . 3
7 fornex 5750 . . 3
85, 6, 7sylc 56 . 2
9 fof 5451 . . . . 5
106, 9syl 15 . . . 4
11 eqid 2283 . . . . . 6 GId GId
121, 11grpoidcl 20884 . . . . 5 GId
132, 12syl 15 . . . 4 GId
14 ffvelrn 5663 . . . 4 GId GId
1510, 13, 14syl2anc 642 . . 3 GId
16 ne0i 3461 . . 3 GId
1715, 16syl 15 . 2
18 ghgrp.6 . . . . 5
19 ghgrp.5 . . . . . 6
20 xpss12 4792 . . . . . 6
2119, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5
22 fnssres 5357 . . . . 5
2318, 21, 22syl2anc 642 . . . 4
24 ghgrp.3 . . . . 5
2524fneq1i 5338 . . . 4
2623, 25sylibr 203 . . 3
276adantr 451 . . . . . . 7
28 ghgrp.2 . . . . . . . . . 10
296, 28, 24ghgrplem2 21034 . . . . . . . . 9
301grpocl 20867 . . . . . . . . . . . 12
31303expb 1152 . . . . . . . . . . 11
322, 31sylan 457 . . . . . . . . . 10
33 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11
3410, 33sylan 457 . . . . . . . . . 10
3532, 34syldan 456 . . . . . . . . 9
3629, 35eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8
3736anassrs 629 . . . . . . 7
38 oveq2 5866 . . . . . . . 8
3938eleq1d 2349 . . . . . . 7
4027, 37, 39ghgrplem1 21033 . . . . . 6
4140ralrimiva 2626 . . . . 5
42 oveq1 5865 . . . . . . 7
4342eleq1d 2349 . . . . . 6
4443ralbidv 2563 . . . . 5
456, 41, 44ghgrplem1 21033 . . . 4
4645ralrimiva 2626 . . 3
47 ffnov 5948 . . 3
4826, 46, 47sylanbrc 645 . 2
492adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
51 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
531grpoass 20870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5449, 50, 51, 52, 53syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5732adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16
586, 28, 24ghgrplem2 21034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5956, 57, 52, 58syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15
601grpocl 20867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6149, 51, 52, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
626, 28, 24ghgrplem2 21034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6356, 50, 61, 62syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15
6455, 59, 633eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . 14
6529adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14
676, 28, 24ghgrplem2 21034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6856, 51, 52, 67syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
7064, 66, 693eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . 13
7170expr 598 . . . . . . . . . . . 12
7271impancom 427 . . . . . . . . . . 11
73 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13
74 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14
7574oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13
7673, 75eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12
7776imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11
786, 72, 77ghgrplem1 21033 . . . . . . . . . 10
7978impancom 427 . . . . . . . . 9
8079expr 598 . . . . . . . 8
8180impancom 427 . . . . . . 7
8238oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
83 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11
8483oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10
8582, 84eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9
8685imbi2d 307 . . . . . . . 8
8786imbi2d 307 . . . . . . 7
886, 81, 87ghgrplem1 21033 . . . . . 6
8988impancom 427 . . . . 5
9042oveq1d 5873 . . . . . . . 8
91 oveq1 5865 . . . . . . . 8
9290, 91eqeq12d 2297 . . . . . . 7
9392imbi2d 307 . . . . . 6
9493imbi2d 307 . . . . 5
956, 89, 94ghgrplem1 21033 . . . 4
9695ex 423 . . 3
97963imp2 1166 . 2
9810adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
992adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
100 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13
101 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13
102 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14
1031, 102grpodivcl 20914 . . . . . . . . . . . . 13
10499, 100, 101, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
105 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12
10698, 104, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
107 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13
1086, 28, 24ghgrplem2 21034 . . . . . . . . . . . . 13
109107, 104, 101, 108syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12
1101, 102grponpcan 20919 . . . . . . . . . . . . . 14
11199, 100, 101, 110syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
112111fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12
113109, 112eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11
114 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13
115114eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12
116115rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11
117106, 113, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
118 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15
1191, 118grpoinvcl 20893 . . . . . . . . . . . . . 14
12099, 101, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
1211grpocl 20867 . . . . . . . . . . . . 13
12299, 120, 100, 121syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
123 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12
12498, 122, 123syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
1256, 28, 24ghgrplem2 21034 . . . . . . . . . . . . 13
126107, 101, 122, 125syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12
1271, 118grpoasscan1 20904 . . . . . . . . . . . . . 14
12899, 101, 100, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
129128fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12
130126, 129eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11
131 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13
132131eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12
133132rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11
134124, 130, 133syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
135117, 134jca 518 . . . . . . . . 9
136135expr 598 . . . . . . . 8
137136impancom 427 . . . . . . 7
138 eqeq2 2292 . . . . . . . . . 10
139138rexbidv 2564 . . . . . . . . 9
140 eqeq2 2292 . . . . . . . . . 10
141140rexbidv 2564 . . . . . . . . 9
142139, 141anbi12d 691 . . . . . . . 8
143142imbi2d 307 . . . . . . 7
1446, 137, 143ghgrplem1 21033 . . . . . 6
145144impancom 427 . . . . 5
146 oveq2 5866 . . . . . . . . 9
147146eqeq1d 2291 . . . . . . . 8
148147rexbidv 2564 . . . . . . 7
149 oveq1 5865 . . . . . . . . 9
150149eqeq1d 2291 . . . . . . . 8
151150rexbidv 2564 . . . . . . 7
152148, 151anbi12d 691 . . . . . 6
153152imbi2d 307 . . . . 5
1546, 145, 153ghgrplem1 21033 . . . 4
155154impr 602 . . 3
156155simpld 445 . 2
157155simprd 449 . 2
1588, 17, 48, 97, 156, 157isgrp2d 20902 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   wss 3152  c0 3455   cxp 4687   crn 4690   cres 4691   wfn 5250  wf 5251  wfo 5253  cfv 5255  (class class class)co 5858  cgr 20853  GIdcgi 20854  cgn 20855   cgs 20856 This theorem is referenced by:  ghablo  21036  ghsubgolem  21037 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861
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