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Theorem ghgrp 21946
Description: The image of a group  G under a group homomorphism  F is a group. This is a stronger result than that usually found in the literature, since the target of the homomorphism (operator  O in our model) need not have any of the properties of a group as a prerequisite. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghgrp.1  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
ghgrp.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
ghgrp.3  |-  H  =  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )
ghgrp.4  |-  X  =  ran  G
ghgrp.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  A )
ghgrp.6  |-  ( ph  ->  O  Fn  ( A  X.  A ) )
ghgrp.7  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Assertion
Ref Expression
ghgrp  |-  ( ph  ->  H  e.  GrpOp )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    ph, x, y    x, H, y    x, X, y    x, Y, y   
x, O, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem ghgrp
Dummy variables  z 
b  c  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghgrp.4 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2 ghgrp.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
3 rnexg 5123 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ran  G  e. 
_V )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
51, 4syl5eqel 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
6 ghgrp.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
7 fornex 5962 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( F : X -onto-> Y  ->  Y  e.  _V )
)
85, 6, 7sylc 58 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
9 fof 5645 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
106, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
11 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
121, 11grpoidcl 21795 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  (GId `  G
)  e.  X )
132, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (GId `  G )  e.  X )
1410, 13ffvelrnd 5863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (GId `  G ) )  e.  Y )
15 ne0i 3626 . . 3  |-  ( ( F `  (GId `  G ) )  e.  Y  ->  Y  =/=  (/) )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
17 ghgrp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  Fn  ( A  X.  A ) )
18 ghgrp.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  A )
19 xpss12 4973 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )
2018, 18, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )
21 fnssres 5550 . . . . 5  |-  ( ( O  Fn  ( A  X.  A )  /\  ( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )  -> 
( O  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
2217, 20, 21syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
23 ghgrp.3 . . . . 5  |-  H  =  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )
2423fneq1i 5531 . . . 4  |-  ( H  Fn  ( Y  X.  Y )  <->  ( O  |`  ( Y  X.  Y
) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
2522, 24sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( Y  X.  Y ) )
266adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X -onto-> Y )
27 ghgrp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
286, 27, 23ghgrplem2 21945 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) )
291grpocl 21778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  X )
30293expb 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  e.  X )
312, 30sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x G y )  e.  X )
3210ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x G y )  e.  X )  ->  ( F `  ( x G y ) )  e.  Y )
3331, 32syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  e.  Y )
3428, 33eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) H ( F `  y ) )  e.  Y )
3534anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  x
) H ( F `
 y ) )  e.  Y )
36 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
) H b )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) )
3736eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H b )  e.  Y  <->  ( ( F `  x ) H ( F `  y ) )  e.  Y ) )
3826, 35, 37ghgrplem1 21944 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  b  e.  Y )  ->  (
( F `  x
) H b )  e.  Y )
3938ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. b  e.  Y  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y )
40 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H b )  =  ( ( F `
 x ) H b ) )
4140eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H b )  e.  Y  <->  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y ) )
4241ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y  <->  A. b  e.  Y  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y ) )
436, 39, 42ghgrplem1 21944 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y )
4443ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y )
45 ffnov 6166 . . 3  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> Y  <->  ( H  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y ) )
4625, 44, 45sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  H : ( Y  X.  Y ) --> Y )
472adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  G  e.  GrpOp )
48 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
49 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
50 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
511grpoass 21781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
5247, 48, 49, 50, 51syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
5352fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
x G y ) G z ) )  =  ( F `  ( x G ( y G z ) ) ) )
54 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ph )
5531adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x G y )  e.  X )
566, 27, 23ghgrplem2 21945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x G y )  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( x G y ) G z ) )  =  ( ( F `  ( x G y ) ) H ( F `  z ) ) )
5754, 55, 50, 56syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
x G y ) G z ) )  =  ( ( F `
 ( x G y ) ) H ( F `  z
) ) )
581grpocl 21778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G z )  e.  X )
5947, 49, 50, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y G z )  e.  X )
606, 27, 23ghgrplem2 21945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y G z )  e.  X ) )  ->  ( F `  ( x G ( y G z ) ) )  =  ( ( F `  x
) H ( F `
 ( y G z ) ) ) )
6154, 48, 59, 60syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x G ( y G z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  (
y G z ) ) ) )
6253, 57, 613eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
x G y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  (
y G z ) ) ) )
6328adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x G y ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) )
6463oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
x G y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `  z
) ) )
656, 27, 23ghgrplem2 21945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y G z ) )  =  ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) )
6654, 49, 50, 65syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( y G z ) )  =  ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) )
6766oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
) H ( F `
 ( y G z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
6862, 64, 673eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
6968expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) ) ) )
7069impancom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H ( F `
 z ) ) ) ) )
71 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `  z
) ) )
72 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) H c )  =  ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) )
7372oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  x
) H ( ( F `  y ) H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
7471, 73eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H ( F `
 z ) ) ) ) )
7574imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H c ) ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) ) ) ) )
766, 70, 75ghgrplem1 21944 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) )
7776impancom 428 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) )
7877expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
7978impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
8036oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H b ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c ) )
81 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
b H c )  =  ( ( F `
 y ) H c ) )
8281oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
) H ( b H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H c ) ) )
8380, 82eqeq12d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) )
8483imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) )  <-> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
8584imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) ) ) )
866, 79, 85ghgrplem1 21944 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
8786impancom 428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
8840oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H b ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H b ) H c ) )
89 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H ( b H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( b H c ) ) )
9088, 89eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) )
9190imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) )  <-> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
9291imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) )  <->  ( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `  x
) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) ) )
936, 87, 92ghgrplem1 21944 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) ) )
9493ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  Y  ->  ( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) ) ) )
95943imp2 1168 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  -> 
( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) )
9610adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
972adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  G  e.  GrpOp )
98 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
99 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
100 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  /g  `  G )  =  (  /g  `  G )
1011, 100grpodivcl 21825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
y (  /g  `  G
) x )  e.  X )
10297, 98, 99, 101syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y (  /g  `  G ) x )  e.  X )
10396, 102ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) )  e.  Y )
104 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  ph )
1056, 27, 23ghgrplem2 21945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y (  /g  `  G
) x )  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( ( F `
 ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) ) )
106104, 102, 99, 105syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( ( F `
 ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) ) )
1071, 100grponpcan 21830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x )  =  y )
10897, 98, 99, 107syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( y (  /g  `  G ) x ) G x )  =  y )
109108fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( F `  y ) )
110106, 109eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y ) )
111 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) )  ->  ( c H ( F `  x ) )  =  ( ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `
 x ) ) )
112111eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) )  ->  ( (
c H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  ( y
(  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) )  =  ( F `  y ) ) )
113112rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) )  e.  Y  /\  (
( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) ) H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) )
114103, 110, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `
 y ) )
115 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
1161, 115grpoinvcl 21804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  x )  e.  X )
11797, 99, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  x )  e.  X )
1181grpocl 21778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  x )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y )  e.  X )
11997, 117, 98, 118syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  x
) G y )  e.  X )
12096, 119ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  e.  Y )
1216, 27, 23ghgrplem2 21945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y )  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) ) )
122104, 99, 119, 121syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) ) )
1231, 115grpoasscan1 21815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  =  y )
12497, 99, 98, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  =  y )
125124fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( F `
 y ) )
126122, 125eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( F `
 y ) )
127 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) )  ->  ( ( F `  x ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) ) )
128127eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) )  ->  ( (
( F `  x
) H c )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) )  =  ( F `  y ) ) )
129128rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  e.  Y  /\  (
( F `  x
) H ( F `
 ( ( ( inv `  G ) `
 x ) G y ) ) )  =  ( F `  y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `
 y ) )
130120, 126, 129syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `
 y ) )
131114, 130jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) )
132131expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) ) )
133132impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) ) )
134 eqeq2 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( c H ( F `  x ) )  =  b  <->  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) ) )
135134rexbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) ) )
136 eqeq2 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H c )  =  b  <->  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) )
137136rexbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  ( E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) )
138135, 137anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b )  <->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
)  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) ) )
139138imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  (
( F `  x
) H c )  =  ( F `  y ) ) ) ) )
1406, 133, 139ghgrplem1 21944 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) ) )
141140impancom 428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) ) )
142 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
c H a )  =  ( c H ( F `  x
) ) )
143142eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( c H a )  =  b  <->  ( c H ( F `  x ) )  =  b ) )
144143rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b ) )
145 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H c )  =  ( ( F `
 x ) H c ) )
146145eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H c )  =  b  <->  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) )
147146rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) )
148144, 147anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b )  <->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) ) )
149148imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( b  e.  Y  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) )  <->  ( b  e.  Y  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `
 x ) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  (
( F `  x
) H c )  =  b ) ) ) )
1506, 141, 149ghgrplem1 21944 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) ) )
151150impr 603 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) )
152151simpld 446 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b )
153151simprd 450 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b )
1548, 16, 46, 95, 152, 153isgrp2d 21813 1  |-  ( ph  ->  H  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620    X. cxp 4868   ran crn 4871    |` cres 4872    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   GrpOpcgr 21764  GIdcgi 21765   invcgn 21766    /g cgs 21767
This theorem is referenced by:  ghablo  21947  ghsubgolem  21948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-grpo 21769  df-gid 21770  df-ginv 21771  df-gdiv 21772
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