MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghgrp Unicode version

Theorem ghgrp 21051
Description: The image of a group  G under a group homomorphism  F is a group. This is a stronger result than that usually found in the literature, since the target of the homomorphism (operator  O in our model) need not have any of the properties of a group as a prerequisite. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghgrp.1  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
ghgrp.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
ghgrp.3  |-  H  =  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )
ghgrp.4  |-  X  =  ran  G
ghgrp.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  A )
ghgrp.6  |-  ( ph  ->  O  Fn  ( A  X.  A ) )
ghgrp.7  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Assertion
Ref Expression
ghgrp  |-  ( ph  ->  H  e.  GrpOp )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    ph, x, y    x, H, y    x, X, y    x, Y, y   
x, O, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem ghgrp
Dummy variables  z 
b  c  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghgrp.4 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2 ghgrp.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
3 rnexg 4956 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ran  G  e. 
_V )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
51, 4syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
6 ghgrp.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
7 fornex 5766 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( F : X -onto-> Y  ->  Y  e.  _V )
)
85, 6, 7sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
9 fof 5467 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
106, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
11 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
121, 11grpoidcl 20900 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  (GId `  G
)  e.  X )
132, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  (GId `  G )  e.  X )
14 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( F : X --> Y  /\  (GId `  G )  e.  X )  ->  ( F `  (GId `  G
) )  e.  Y
)
1510, 13, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (GId `  G ) )  e.  Y )
16 ne0i 3474 . . 3  |-  ( ( F `  (GId `  G ) )  e.  Y  ->  Y  =/=  (/) )
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
18 ghgrp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  Fn  ( A  X.  A ) )
19 ghgrp.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  A )
20 xpss12 4808 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )
2119, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )
22 fnssres 5373 . . . . 5  |-  ( ( O  Fn  ( A  X.  A )  /\  ( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )  -> 
( O  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
2318, 21, 22syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
24 ghgrp.3 . . . . 5  |-  H  =  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )
2524fneq1i 5354 . . . 4  |-  ( H  Fn  ( Y  X.  Y )  <->  ( O  |`  ( Y  X.  Y
) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
2623, 25sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( Y  X.  Y ) )
276adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X -onto-> Y )
28 ghgrp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
296, 28, 24ghgrplem2 21050 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) )
301grpocl 20883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  X )
31303expb 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  e.  X )
322, 31sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x G y )  e.  X )
33 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X --> Y  /\  ( x G y )  e.  X )  ->  ( F `  ( x G y ) )  e.  Y
)
3410, 33sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x G y )  e.  X )  ->  ( F `  ( x G y ) )  e.  Y )
3532, 34syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  e.  Y )
3629, 35eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) H ( F `  y ) )  e.  Y )
3736anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  x
) H ( F `
 y ) )  e.  Y )
38 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
) H b )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) )
3938eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H b )  e.  Y  <->  ( ( F `  x ) H ( F `  y ) )  e.  Y ) )
4027, 37, 39ghgrplem1 21049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  b  e.  Y )  ->  (
( F `  x
) H b )  e.  Y )
4140ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. b  e.  Y  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y )
42 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H b )  =  ( ( F `
 x ) H b ) )
4342eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H b )  e.  Y  <->  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y ) )
4443ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y  <->  A. b  e.  Y  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y ) )
456, 41, 44ghgrplem1 21049 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y )
4645ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y )
47 ffnov 5964 . . 3  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> Y  <->  ( H  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y ) )
4826, 46, 47sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  H : ( Y  X.  Y ) --> Y )
492adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  G  e.  GrpOp )
50 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
51 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
52 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
531grpoass 20886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
5449, 50, 51, 52, 53syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
5554fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
x G y ) G z ) )  =  ( F `  ( x G ( y G z ) ) ) )
56 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ph )
5732adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x G y )  e.  X )
586, 28, 24ghgrplem2 21050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x G y )  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( x G y ) G z ) )  =  ( ( F `  ( x G y ) ) H ( F `  z ) ) )
5956, 57, 52, 58syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
x G y ) G z ) )  =  ( ( F `
 ( x G y ) ) H ( F `  z
) ) )
601grpocl 20883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G z )  e.  X )
6149, 51, 52, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y G z )  e.  X )
626, 28, 24ghgrplem2 21050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y G z )  e.  X ) )  ->  ( F `  ( x G ( y G z ) ) )  =  ( ( F `  x
) H ( F `
 ( y G z ) ) ) )
6356, 50, 61, 62syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x G ( y G z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  (
y G z ) ) ) )
6455, 59, 633eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
x G y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  (
y G z ) ) ) )
6529adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x G y ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) )
6665oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
x G y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `  z
) ) )
676, 28, 24ghgrplem2 21050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y G z ) )  =  ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) )
6856, 51, 52, 67syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( y G z ) )  =  ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) )
6968oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
) H ( F `
 ( y G z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
7064, 66, 693eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
7170expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) ) ) )
7271impancom 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H ( F `
 z ) ) ) ) )
73 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `  z
) ) )
74 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) H c )  =  ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) )
7574oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  x
) H ( ( F `  y ) H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
7673, 75eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H ( F `
 z ) ) ) ) )
7776imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H c ) ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) ) ) ) )
786, 72, 77ghgrplem1 21049 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) )
7978impancom 427 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) )
8079expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
8180impancom 427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
8238oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H b ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c ) )
83 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
b H c )  =  ( ( F `
 y ) H c ) )
8483oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
) H ( b H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H c ) ) )
8582, 84eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) )
8685imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) )  <-> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
8786imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) ) ) )
886, 81, 87ghgrplem1 21049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
8988impancom 427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
9042oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H b ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H b ) H c ) )
91 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H ( b H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( b H c ) ) )
9290, 91eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) )
9392imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) )  <-> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
9493imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) )  <->  ( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `  x
) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) ) )
956, 89, 94ghgrplem1 21049 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) ) )
9695ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  Y  ->  ( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) ) ) )
97963imp2 1166 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  -> 
( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) )
9810adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
992adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  G  e.  GrpOp )
100 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
101 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
102 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  /g  `  G )  =  (  /g  `  G )
1031, 102grpodivcl 20930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
y (  /g  `  G
) x )  e.  X )
10499, 100, 101, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y (  /g  `  G ) x )  e.  X )
105 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  ( y (  /g  `  G ) x )  e.  X )  -> 
( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) )  e.  Y )
10698, 104, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) )  e.  Y )
107 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  ph )
1086, 28, 24ghgrplem2 21050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y (  /g  `  G
) x )  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( ( F `
 ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) ) )
109107, 104, 101, 108syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( ( F `
 ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) ) )
1101, 102grponpcan 20935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x )  =  y )
11199, 100, 101, 110syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( y (  /g  `  G ) x ) G x )  =  y )
112111fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( F `  y ) )
113109, 112eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y ) )
114 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) )  ->  ( c H ( F `  x ) )  =  ( ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `
 x ) ) )
115114eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) )  ->  ( (
c H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  ( y
(  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) )  =  ( F `  y ) ) )
116115rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) )  e.  Y  /\  (
( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) ) H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) )
117106, 113, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `
 y ) )
118 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
1191, 118grpoinvcl 20909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  x )  e.  X )
12099, 101, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  x )  e.  X )
1211grpocl 20883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  x )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y )  e.  X )
12299, 120, 100, 121syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  x
) G y )  e.  X )
123 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y )  e.  X )  -> 
( F `  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  e.  Y )
12498, 122, 123syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  e.  Y )
1256, 28, 24ghgrplem2 21050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y )  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) ) )
126107, 101, 122, 125syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) ) )
1271, 118grpoasscan1 20920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  =  y )
12899, 101, 100, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  =  y )
129128fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( F `
 y ) )
130126, 129eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( F `
 y ) )
131 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) )  ->  ( ( F `  x ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) ) )
132131eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) )  ->  ( (
( F `  x
) H c )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) )  =  ( F `  y ) ) )
133132rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  e.  Y  /\  (
( F `  x
) H ( F `
 ( ( ( inv `  G ) `
 x ) G y ) ) )  =  ( F `  y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `
 y ) )
134124, 130, 133syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `
 y ) )
135117, 134jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) )
136135expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) ) )
137136impancom 427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) ) )
138 eqeq2 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( c H ( F `  x ) )  =  b  <->  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) ) )
139138rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) ) )
140 eqeq2 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H c )  =  b  <->  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) )
141140rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  ( E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) )
142139, 141anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b )  <->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
)  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) ) )
143142imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  (
( F `  x
) H c )  =  ( F `  y ) ) ) ) )
1446, 137, 143ghgrplem1 21049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) ) )
145144impancom 427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) ) )
146 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
c H a )  =  ( c H ( F `  x
) ) )
147146eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( c H a )  =  b  <->  ( c H ( F `  x ) )  =  b ) )
148147rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b ) )
149 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H c )  =  ( ( F `
 x ) H c ) )
150149eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H c )  =  b  <->  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) )
151150rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) )
152148, 151anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b )  <->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) ) )
153152imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( b  e.  Y  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) )  <->  ( b  e.  Y  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `
 x ) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  (
( F `  x
) H c )  =  b ) ) ) )
1546, 145, 153ghgrplem1 21049 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) ) )
155154impr 602 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) )
156155simpld 445 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b )
157155simprd 449 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b )
1588, 17, 48, 97, 156, 157isgrp2d 20918 1  |-  ( ph  ->  H  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   GrpOpcgr 20869  GIdcgi 20870   invcgn 20871    /g cgs 20872
This theorem is referenced by:  ghablo  21052  ghsubgolem  21053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877
  Copyright terms: Public domain W3C validator