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Theorem ghmcnp 17813
Description: A group homomorphism on topological groups is continuous everywhere if it is continuous at any point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmcnp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ghmcnp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
ghmcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
Assertion
Ref Expression
ghmcnp  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( A  e.  X  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )

Proof of Theorem ghmcnp
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
21cnprcl 16991 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  A  e.  U. J )
32a1i 10 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  A  e.  U. J ) )
4 ghmcnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
5 ghmcnp.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  G
)
64, 5tmdtopon 17780 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
763ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  H  e. TopMnd )
10 ghmcnp.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
11 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
1210, 11tmdtopon 17780 . . . . . . . 8  |-  ( H  e. TopMnd  ->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )
139, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )
14 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
15 cnpf2 16996 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X --> ( Base `  H ) )
168, 13, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
1716adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> ( Base `  H
) )
1814adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
19 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( Base `  H
)  |->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w ) )  =  ( w  e.  (
Base `  H )  |->  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )
2019mptpreima 5182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( w  e.  (
Base `  H )  |->  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )
" y )  =  { w  e.  (
Base `  H )  |  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w )  e.  y }
219adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  H  e. TopMnd )
2216adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
23 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
24 ghmgrp1 14701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  G  e.  Grp )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  G  e.  Grp )
26 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  x  e.  X )
272adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  A  e.  U. J )
28 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
298, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  X  =  U. J )
3027, 29eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  A  e.  X )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  A  e.  X )
32 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
335, 32grpsubcl 14562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) A )  e.  X )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( x
( -g `  G ) A )  e.  X
)
35 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : X --> ( Base `  H )  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  X )  ->  ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) )  e.  ( Base `  H
) )
3622, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) )  e.  ( Base `  H ) )
37 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
3819, 11, 37, 10tmdlactcn 17801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  e. TopMnd  /\  ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
w  e.  ( Base `  H )  |->  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
3921, 36, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( w  e.  ( Base `  H
)  |->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w ) )  e.  ( K  Cn  K
) )
40 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  y  e.  K )
41 cnima 17010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  (
Base `  H )  |->  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )  e.  ( K  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  ( Base `  H
)  |->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w ) ) "
y )  e.  K
)
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( `' ( w  e.  ( Base `  H )  |->  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )
" y )  e.  K )
4320, 42syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  e.  K
)
44 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : X --> ( Base `  H )  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  A )  e.  ( Base `  H
) )
4522, 31, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  (
Base `  H )
)
46 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -g `  H )  =  (
-g `  H )
475, 32, 46ghmsub 14707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) )  =  ( ( F `  x ) ( -g `  H ) ( F `
 A ) ) )
4823, 26, 31, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) )  =  ( ( F `  x ) ( -g `  H
) ( F `  A ) ) )
4948oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  =  ( ( ( F `  x ) ( -g `  H ) ( F `
 A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  A ) ) )
50 ghmgrp2 14702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  H  e.  Grp )
5123, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  H  e.  Grp )
52 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : X --> ( Base `  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  H
) )
5322, 26, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  H )
)
5411, 37, 46grpnpcan 14573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  H
)  /\  ( F `  A )  e.  (
Base `  H )
)  ->  ( (
( F `  x
) ( -g `  H
) ( F `  A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  =  ( F `  x ) )
5551, 53, 45, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( (
( F `  x
) ( -g `  H
) ( F `  A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  =  ( F `  x ) )
5649, 55eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  =  ( F `  x ) )
57 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
5856, 57eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  e.  y )
59 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( F `  A )  ->  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  =  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  A ) ) )
6059eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( F `  A )  ->  (
( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y  <->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  e.  y ) )
6160elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  A )  e.  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  <->  ( ( F `  A )  e.  ( Base `  H
)  /\  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  e.  y ) )
6245, 58, 61sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  {
w  e.  ( Base `  H )  |  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } )
63 cnpimaex 17002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A )  /\  { w  e.  ( Base `  H )  |  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  e.  K  /\  ( F `  A
)  e.  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } ) )
6418, 43, 62, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( F " z )  C_  { w  e.  ( Base `  H )  |  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } ) )
65 ssrab 3264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F " z ) 
C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  <->  ( ( F " z )  C_  ( Base `  H )  /\  A. w  e.  ( F " z ) ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y ) )
6665simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " z ) 
C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  ->  A. w  e.  ( F " z
) ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w )  e.  y )
6722adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  F : X --> ( Base `  H
) )
68 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X --> ( Base `  H )  ->  F  Fn  X )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  F  Fn  X )
708adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
71 toponss 16683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
7270, 71sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
73 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( F `  v )  ->  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  =  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) ) )
7473eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( F `  v )  ->  (
( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y  <->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  v
) )  e.  y ) )
7574ralima 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  X  /\  z  C_  X )  -> 
( A. w  e.  ( F " z
) ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w )  e.  y  <->  A. v  e.  z 
( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) )
7669, 72, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. w  e.  ( F " z ) ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y  <->  A. v  e.  z  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) )
7766, 76syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
( F " z
)  C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  ->  A. v  e.  z  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  v
) )  e.  y ) )
78 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) )
7978mptpreima 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) " z )  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }
80 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  G  e. TopMnd )
8180ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  G  e. TopMnd )
8225adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  G  e.  Grp )
8331adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A  e.  X
)
8426adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  x  e.  X
)
855, 32grpsubcl 14562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( -g `  G ) x )  e.  X )
8682, 83, 84, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( A (
-g `  G )
x )  e.  X
)
87 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8878, 5, 87, 4tmdlactcn 17801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  ( A ( -g `  G
) x )  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
8981, 86, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
90 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  z  e.  J
)
91 cnima 17010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  X  |->  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) ) "
z )  e.  J
)
9289, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) )
" z )  e.  J )
9379, 92syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  e.  J )
945, 87, 32grpnpcan 14573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x )  =  A )
9582, 83, 84, 94syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  =  A )
96 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A  e.  z )
9795, 96eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z )
98 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  =  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x ) )
9998eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z  <->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
10099elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  <->  ( x  e.  X  /\  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
10184, 97, 100sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  x  e.  {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )
102 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A. v  e.  z  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y )
103 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  ->  ( F `  v )  =  ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )
104103oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  ->  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  =  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) ) )
105104eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  ->  (
( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y  <->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  e.  y ) )
106105rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  z  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y  ->  ( (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  e.  y ) )
107102, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z  ->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  e.  y ) )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  e.  y ) )
10923adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
11034adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  X )
111109, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
11231adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  A  e.  X )
11326adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  x  e.  X )
114111, 112, 113, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( A ( -g `  G
) x )  e.  X )
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  X )
1165, 87grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A ( -g `  G
) x )  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  X )
117111, 114, 115, 116syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  X )
1185, 87, 37ghmlin 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  X  /\  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  X
)  ->  ( F `  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  =  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) ) )
119109, 110, 117, 118syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  ( (
x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  =  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) ) )
120 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1215, 32, 120grpinvsub 14564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
x ( -g `  G
) A ) )  =  ( A (
-g `  G )
x ) )
122111, 113, 112, 121syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
x ( -g `  G
) A ) )  =  ( A (
-g `  G )
x ) )
123122oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( A ( -g `  G ) x ) ) )
124 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
1255, 87, 124, 120grprinv 14545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x ( -g `  G ) A )  e.  X )  -> 
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  ( x
( -g `  G ) A ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
126111, 110, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
127123, 126eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( A (
-g `  G )
x ) )  =  ( 0g `  G
) )
128127oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( A ( -g `  G
) x ) ) ( +g  `  G
) w )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) w ) )
1295, 87grpass 14512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( x (
-g `  G ) A )  e.  X  /\  ( A ( -g `  G ) x )  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( A ( -g `  G ) x ) ) ( +g  `  G
) w )  =  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) ) )
130111, 110, 114, 115, 129syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( A ( -g `  G
) x ) ) ( +g  `  G
) w )  =  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) ) )
1315, 87, 124grplid 14528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) w )  =  w )
132111, 115, 131syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) w )  =  w )
133128, 130, 1323eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) )  =  w )
134133fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  ( (
x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  =  ( F `  w ) )
135119, 134eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  =  ( F `  w ) )
136135adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  =  ( F `
 w ) )
137136eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  e.  y  <-> 
( F `  w
)  e.  y ) )
138108, 137sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z  ->  ( F `  w )  e.  y ) )
139138ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A. w  e.  X  ( ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z  ->  ( F `  w )  e.  y ) )
140 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  w  ->  ( F `  v )  =  ( F `  w ) )
141140eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  w  ->  (
( F `  v
)  e.  y  <->  ( F `  w )  e.  y ) )
142141ralrab2 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. v  e.  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z }  ( F `
 v )  e.  y  <->  A. w  e.  X  ( ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z  ->  ( F `  w )  e.  y ) )
143139, 142sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A. v  e.  {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ( F `  v )  e.  y )
14422adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  F : X --> ( Base `  H )
)
145 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : X --> ( Base `  H )  ->  Fun  F )
146144, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  Fun  F )
147 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z }  C_  X
148 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : X --> ( Base `  H )  ->  dom  F  =  X )
149144, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  dom  F  =  X )
150147, 149syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  C_  dom  F )
151 funimass4 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  C_  dom  F )  ->  (
( F " {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } ) 
C_  y  <->  A. v  e.  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ( F `  v )  e.  y ) )
152146, 150, 151syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( ( F
" { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )  C_  y  <->  A. v  e.  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z }  ( F `
 v )  e.  y ) )
153143, 152mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( F " { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )  C_  y
)
154 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z } ) )
155 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ->  ( F " u )  =  ( F " { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z } ) )
156155sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ->  ( ( F " u )  C_  y 
<->  ( F " {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } ) 
C_  y ) )
157154, 156anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ->  ( (
x  e.  u  /\  ( F " u ) 
C_  y )  <->  ( x  e.  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  /\  ( F
" { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )  C_  y
) ) )
158157rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  e.  J  /\  ( x  e.  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z }  /\  ( F " { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )  C_  y
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) )
15993, 101, 153, 158syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
)
160159expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  v
) )  e.  y )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) ) )
16177, 160sylan2d 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
( A  e.  z  /\  ( F "
z )  C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
) )
162161rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
) )
16364, 162mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) )
164163anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
)
165164expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  x
)  e.  y  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
) )
166165ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  K  ( ( F `  x )  e.  y  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) ) )
1678adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16813adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H ) ) )
169 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
170 iscnp 16983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> ( Base `  H )  /\  A. y  e.  K  (
( F `  x
)  e.  y  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
) ) ) )
171167, 168, 169, 170syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  x )  e.  y  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) ) ) ) )
17217, 166, 171mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
173172ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
174 cncnp 17025 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H ) ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> ( Base `  H
)  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
1758, 13, 174syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> ( Base `  H
)  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
17616, 173, 175mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
177176ex 423 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1783, 177jcad 519 . . 3  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( A  e. 
U. J  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
1791cncnpi 17023 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  U. J )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
180179ancoms 439 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. J  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
181178, 180impbid1 194 . 2  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( A  e.  U. J  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1827, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  X  =  U. J )
183182eleq2d 2363 . . 3  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. J
) )
184183anbi1d 685 . 2  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( ( A  e.  X  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  <->  ( A  e.  U. J  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
185181, 184bitr4d 247 1  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( A  e.  X  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381    GrpHom cghm 14696  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    CnP ccnp 16971  TopMndctmd 17769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-map 6790  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-tmd 17771
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