MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf Unicode version

Theorem ghmf 14736
Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf.x  |-  X  =  ( Base `  S
)
ghmf.y  |-  Y  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmf  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )

Proof of Theorem ghmf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  S
)
2 ghmf.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  T
)
3 eqid 2316 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4 eqid 2316 . . . 4  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
51, 2, 3, 4isghm 14732 . . 3  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  ( y
( +g  `  S ) x ) )  =  ( ( F `  y ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ) ) )
65simprbi 450 . 2  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  ( y
( +g  `  S ) x ) )  =  ( ( F `  y ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ) )
76simpld 445 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   Grpcgrp 14411    GrpHom cghm 14729
This theorem is referenced by:  ghmid  14738  ghminv  14739  ghmsub  14740  ghmmhm  14742  ghmmulg  14744  ghmrn  14745  resghm  14748  ghmpreima  14753  ghmeql  14754  ghmnsgima  14755  ghmnsgpreima  14756  ghmeqker  14758  ghmf1  14760  ghmf1o  14761  gimcnv  14780  lactghmga  14833  frgpup3lem  15135  frgpup3  15136  ghmplusg  15187  rhmf  15553  isrhm2d  15555  lmhmf  15840  lmhmpropd  15875  evlslem2  16298  frgpcyg  16583  nmoi  18289  nmoix  18290  nmoi2  18291  nmoleub  18292  nmoeq0  18297  nmoco  18298  nmotri  18300  nmods  18305  nghmcn  18306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-ghm 14730
  Copyright terms: Public domain W3C validator