MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf1 Structured version   Unicode version

Theorem ghmf1 15034
Description: Two ways of saying a group homomorphism is 1-1 into its codomain. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1.x  |-  X  =  ( Base `  S
)
ghmf1.y  |-  Y  =  ( Base `  T
)
ghmf1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
ghmf1.u  |-  U  =  ( 0g `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmf1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, S    x, T    x, U    x, X    x, Y    x,  .0.

Proof of Theorem ghmf1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf1.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
2 ghmf1.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( 0g `  T
)
31, 2ghmid 15012 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  .0.  )  =  U )
43ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F `  .0.  )  =  U )
54eqeq2d 2447 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  .0.  )  <->  ( F `  x )  =  U ) )
6 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X -1-1-> Y )
7 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
8 ghmgrp1 15008 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  S  e.  Grp )
98ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  S  e.  Grp )
10 ghmf1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  S
)
1110, 1grpidcl 14833 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
129, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  e.  X )
13 f1fveq 6008 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( x  e.  X  /\  .0.  e.  X ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  .0.  )  <->  x  =  .0.  ) )
146, 7, 12, 13syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  .0.  )  <->  x  =  .0.  ) )
155, 14bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  U  <->  x  =  .0.  ) )
1615biimpd 199 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) )
1716ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) )
18 ghmf1.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  T
)
1910, 18ghmf 15010 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )
2019adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  F : X
--> Y )
21 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  S )  =  (
-g `  S )
22 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  T )  =  (
-g `  T )
2310, 21, 22ghmsub 15014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  ( y
( -g `  S ) z ) )  =  ( ( F `  y ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) ) )
24233expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  ( ( F `  y ) ( -g `  T
) ( F `  z ) ) )
2524adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y ( -g `  S
) z ) )  =  ( ( F `
 y ) (
-g `  T )
( F `  z
) ) )
2625eqeq1d 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U  <->  ( ( F `  y )
( -g `  T ) ( F `  z
) )  =  U ) )
278adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  S  e.  Grp )
2810, 21grpsubcl 14869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  S ) z )  e.  X )
29283expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y ( -g `  S
) z )  e.  X )
3027, 29sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y ( -g `  S ) z )  e.  X )
31 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) )
32 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) ) )
3332eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  (
( F `  x
)  =  U  <->  ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U ) )
34 eqeq1 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( y
( -g `  S ) z )  =  .0.  ) )
3533, 34imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  (
( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  )  <->  ( ( F `
 ( y (
-g `  S )
z ) )  =  U  ->  ( y
( -g `  S ) z )  =  .0.  ) ) )
3635rspcv 3048 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( -g `  S
) z )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )  ->  ( ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U  -> 
( y ( -g `  S ) z )  =  .0.  ) ) )
3730, 31, 36sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U  -> 
( y ( -g `  S ) z )  =  .0.  ) )
3826, 37sylbird 227 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  =  U  ->  ( y (
-g `  S )
z )  =  .0.  ) )
39 ghmgrp2 15009 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  T  e.  Grp )
4039ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  T  e.  Grp )
4119ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
42 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
4341, 42ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
44 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
4541, 44ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  Y )
4618, 2, 22grpsubeq0 14875 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  y )  e.  Y  /\  ( F `  z )  e.  Y )  ->  (
( ( F `  y ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) )  =  U  <->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) ) )
4740, 43, 45, 46syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  =  U  <-> 
( F `  y
)  =  ( F `
 z ) ) )
488ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  S  e.  Grp )
4910, 1, 21grpsubeq0 14875 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( y (
-g `  S )
z )  =  .0.  <->  y  =  z ) )
5048, 42, 44, 49syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y (
-g `  S )
z )  =  .0.  <->  y  =  z ) )
5138, 47, 503imtr3d 259 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
5251ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
53 dff13 6004 . . 3  |-  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
5420, 52, 53sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  F : X -1-1-> Y )
5517, 54impbida 806 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688    GrpHom cghm 15003
This theorem is referenced by:  cayleylem2  15111  fidomndrnglem  16366  pwssplit4  27168  islindf5  27286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-ghm 15004
  Copyright terms: Public domain W3C validator