MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf1 Unicode version

Theorem ghmf1 14727
Description: Two ways of saying a group homomorphism is 1-1 into its codomain. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1.x  |-  X  =  ( Base `  S
)
ghmf1.y  |-  Y  =  ( Base `  T
)
ghmf1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
ghmf1.u  |-  U  =  ( 0g `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmf1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, S    x, T    x, U    x, X    x, Y    x,  .0.

Proof of Theorem ghmf1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf1.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
2 ghmf1.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( 0g `  T
)
31, 2ghmid 14705 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  .0.  )  =  U )
43ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F `  .0.  )  =  U )
54eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  .0.  )  <->  ( F `  x )  =  U ) )
6 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X -1-1-> Y )
7 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
8 ghmgrp1 14701 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  S  e.  Grp )
98ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  S  e.  Grp )
10 ghmf1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  S
)
1110, 1grpidcl 14526 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
129, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  e.  X )
13 f1fveq 5802 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( x  e.  X  /\  .0.  e.  X ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  .0.  )  <->  x  =  .0.  ) )
146, 7, 12, 13syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  .0.  )  <->  x  =  .0.  ) )
155, 14bitr3d 246 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  U  <->  x  =  .0.  ) )
1615biimpd 198 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) )
1716ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) )
18 ghmf1.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  T
)
1910, 18ghmf 14703 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )
2019adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  F : X
--> Y )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  S )  =  (
-g `  S )
22 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  T )  =  (
-g `  T )
2310, 21, 22ghmsub 14707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  ( y
( -g `  S ) z ) )  =  ( ( F `  y ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) ) )
24233expb 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  ( ( F `  y ) ( -g `  T
) ( F `  z ) ) )
2524adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y ( -g `  S
) z ) )  =  ( ( F `
 y ) (
-g `  T )
( F `  z
) ) )
2625eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U  <->  ( ( F `  y )
( -g `  T ) ( F `  z
) )  =  U ) )
278adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  S  e.  Grp )
2810, 21grpsubcl 14562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  S ) z )  e.  X )
29283expb 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y ( -g `  S
) z )  e.  X )
3027, 29sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y ( -g `  S ) z )  e.  X )
31 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) )
32 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) ) )
3332eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  (
( F `  x
)  =  U  <->  ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U ) )
34 eqeq1 2302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( y
( -g `  S ) z )  =  .0.  ) )
3533, 34imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  (
( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  )  <->  ( ( F `
 ( y (
-g `  S )
z ) )  =  U  ->  ( y
( -g `  S ) z )  =  .0.  ) ) )
3635rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( -g `  S
) z )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )  ->  ( ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U  -> 
( y ( -g `  S ) z )  =  .0.  ) ) )
3730, 31, 36sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U  -> 
( y ( -g `  S ) z )  =  .0.  ) )
3826, 37sylbird 226 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  =  U  ->  ( y (
-g `  S )
z )  =  .0.  ) )
39 ghmgrp2 14702 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  T  e.  Grp )
4039ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  T  e.  Grp )
4119ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
42 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
43 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> Y  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  Y )
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
45 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
46 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> Y  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  Y )
4741, 45, 46syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  Y )
4818, 2, 22grpsubeq0 14568 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  y )  e.  Y  /\  ( F `  z )  e.  Y )  ->  (
( ( F `  y ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) )  =  U  <->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) ) )
4940, 44, 47, 48syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  =  U  <-> 
( F `  y
)  =  ( F `
 z ) ) )
508ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  S  e.  Grp )
5110, 1, 21grpsubeq0 14568 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( y (
-g `  S )
z )  =  .0.  <->  y  =  z ) )
5250, 42, 45, 51syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y (
-g `  S )
z )  =  .0.  <->  y  =  z ) )
5338, 49, 523imtr3d 258 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
5453ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
55 dff13 5799 . . 3  |-  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
5620, 54, 55sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  F : X -1-1-> Y )
5717, 56impbida 805 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381    GrpHom cghm 14696
This theorem is referenced by:  cayleylem2  14804  fidomndrnglem  16063  pwssplit4  27294  islindf5  27412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697
  Copyright terms: Public domain W3C validator