Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf1 Structured version   Unicode version

Theorem ghmf1 15034
 Description: Two ways of saying a group homomorphism is 1-1 into its codomain. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1.x
ghmf1.y
ghmf1.z
ghmf1.u
Assertion
Ref Expression
ghmf1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ghmf1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf1.z . . . . . . . 8
2 ghmf1.u . . . . . . . 8
31, 2ghmid 15012 . . . . . . 7
43ad2antrr 707 . . . . . 6
54eqeq2d 2447 . . . . 5
6 simplr 732 . . . . . 6
7 simpr 448 . . . . . 6
8 ghmgrp1 15008 . . . . . . . 8
98ad2antrr 707 . . . . . . 7
10 ghmf1.x . . . . . . . 8
1110, 1grpidcl 14833 . . . . . . 7
129, 11syl 16 . . . . . 6
13 f1fveq 6008 . . . . . 6
146, 7, 12, 13syl12anc 1182 . . . . 5
155, 14bitr3d 247 . . . 4
1615biimpd 199 . . 3
1716ralrimiva 2789 . 2
18 ghmf1.y . . . . 5
1910, 18ghmf 15010 . . . 4
21 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
22 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
2310, 21, 22ghmsub 15014 . . . . . . . . 9
24233expb 1154 . . . . . . . 8
2524adantlr 696 . . . . . . 7
2625eqeq1d 2444 . . . . . 6
278adantr 452 . . . . . . . 8
2810, 21grpsubcl 14869 . . . . . . . . 9
29283expb 1154 . . . . . . . 8
3027, 29sylan 458 . . . . . . 7
31 simplr 732 . . . . . . 7
32 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10
3332eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9
34 eqeq1 2442 . . . . . . . . 9
3533, 34imbi12d 312 . . . . . . . 8
3635rspcv 3048 . . . . . . 7
3730, 31, 36sylc 58 . . . . . 6
3826, 37sylbird 227 . . . . 5
39 ghmgrp2 15009 . . . . . . 7
4039ad2antrr 707 . . . . . 6
4119ad2antrr 707 . . . . . . 7
42 simprl 733 . . . . . . 7
4341, 42ffvelrnd 5871 . . . . . 6
44 simprr 734 . . . . . . 7
4541, 44ffvelrnd 5871 . . . . . 6
4618, 2, 22grpsubeq0 14875 . . . . . 6
4740, 43, 45, 46syl3anc 1184 . . . . 5
488ad2antrr 707 . . . . . 6
4910, 1, 21grpsubeq0 14875 . . . . . 6
5048, 42, 44, 49syl3anc 1184 . . . . 5
5138, 47, 503imtr3d 259 . . . 4
5251ralrimivva 2798 . . 3
53 dff13 6004 . . 3
5420, 52, 53sylanbrc 646 . 2
5517, 54impbida 806 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wf 5450  wf1 5451  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  c0g 13723  cgrp 14685  csg 14688   cghm 15003 This theorem is referenced by:  cayleylem2  15111  fidomndrnglem  16366  pwssplit4  27168  islindf5  27286 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-ghm 15004
 Copyright terms: Public domain W3C validator