Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf1 Unicode version

Theorem ghmf1 14727
 Description: Two ways of saying a group homomorphism is 1-1 into its codomain. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1.x
ghmf1.y
ghmf1.z
ghmf1.u
Assertion
Ref Expression
ghmf1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ghmf1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf1.z . . . . . . . 8
2 ghmf1.u . . . . . . . 8
31, 2ghmid 14705 . . . . . . 7
43ad2antrr 706 . . . . . 6
54eqeq2d 2307 . . . . 5
6 simplr 731 . . . . . 6
7 simpr 447 . . . . . 6
8 ghmgrp1 14701 . . . . . . . 8
98ad2antrr 706 . . . . . . 7
10 ghmf1.x . . . . . . . 8
1110, 1grpidcl 14526 . . . . . . 7
129, 11syl 15 . . . . . 6
13 f1fveq 5802 . . . . . 6
146, 7, 12, 13syl12anc 1180 . . . . 5
155, 14bitr3d 246 . . . 4
1615biimpd 198 . . 3
1716ralrimiva 2639 . 2
18 ghmf1.y . . . . 5
1910, 18ghmf 14703 . . . 4
21 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
22 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
2310, 21, 22ghmsub 14707 . . . . . . . . 9
24233expb 1152 . . . . . . . 8
2524adantlr 695 . . . . . . 7
2625eqeq1d 2304 . . . . . 6
278adantr 451 . . . . . . . 8
2810, 21grpsubcl 14562 . . . . . . . . 9
29283expb 1152 . . . . . . . 8
3027, 29sylan 457 . . . . . . 7
31 simplr 731 . . . . . . 7
32 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
3332eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9
34 eqeq1 2302 . . . . . . . . 9
3533, 34imbi12d 311 . . . . . . . 8
3635rspcv 2893 . . . . . . 7
3730, 31, 36sylc 56 . . . . . 6
3826, 37sylbird 226 . . . . 5
39 ghmgrp2 14702 . . . . . . 7
4039ad2antrr 706 . . . . . 6
4119ad2antrr 706 . . . . . . 7
42 simprl 732 . . . . . . 7
43 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . 6
45 simprr 733 . . . . . . 7
46 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
4741, 45, 46syl2anc 642 . . . . . 6
4818, 2, 22grpsubeq0 14568 . . . . . 6
4940, 44, 47, 48syl3anc 1182 . . . . 5
508ad2antrr 706 . . . . . 6
5110, 1, 21grpsubeq0 14568 . . . . . 6
5250, 42, 45, 51syl3anc 1182 . . . . 5
5338, 49, 523imtr3d 258 . . . 4
5453ralrimivva 2648 . . 3
55 dff13 5799 . . 3
5620, 54, 55sylanbrc 645 . 2
5717, 56impbida 805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wf 5267  wf1 5268  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164  c0g 13416  cgrp 14378  csg 14381   cghm 14696 This theorem is referenced by:  cayleylem2  14804  fidomndrnglem  16063  pwssplit4  27294  islindf5  27412 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697
 Copyright terms: Public domain W3C validator