Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf1o Structured version   Unicode version

Theorem ghmf1o 15035
 Description: A bijective group homomorphism is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1o.x
ghmf1o.y
Assertion
Ref Expression
ghmf1o

Proof of Theorem ghmf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp2 15009 . . . . 5
2 ghmgrp1 15008 . . . . 5
31, 2jca 519 . . . 4
5 f1ocnv 5687 . . . . . 6
65adantl 453 . . . . 5
7 f1of 5674 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
9 simpll 731 . . . . . . . 8
108adantr 452 . . . . . . . . 9
11 simprl 733 . . . . . . . . 9
1210, 11ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8
13 simprr 734 . . . . . . . . 9
1410, 13ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8
15 ghmf1o.x . . . . . . . . 9
16 eqid 2436 . . . . . . . . 9
17 eqid 2436 . . . . . . . . 9
1815, 16, 17ghmlin 15011 . . . . . . . 8
199, 12, 14, 18syl3anc 1184 . . . . . . 7
20 simplr 732 . . . . . . . . 9
21 f1ocnvfv2 6015 . . . . . . . . 9
2220, 11, 21syl2anc 643 . . . . . . . 8
23 f1ocnvfv2 6015 . . . . . . . . 9
2420, 13, 23syl2anc 643 . . . . . . . 8
2522, 24oveq12d 6099 . . . . . . 7
2619, 25eqtrd 2468 . . . . . 6
279, 2syl 16 . . . . . . . 8
2815, 16grpcl 14818 . . . . . . . 8
2927, 12, 14, 28syl3anc 1184 . . . . . . 7
30 f1ocnvfv 6016 . . . . . . 7
3120, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6
3226, 31mpd 15 . . . . 5
3332ralrimivva 2798 . . . 4
348, 33jca 519 . . 3
35 ghmf1o.y . . . 4
3635, 15, 17, 16isghm 15006 . . 3
374, 34, 36sylanbrc 646 . 2
3815, 35ghmf 15010 . . . . 5
3938adantr 452 . . . 4
40 ffn 5591 . . . 4
4139, 40syl 16 . . 3
4235, 15ghmf 15010 . . . . 5
4342adantl 453 . . . 4
44 ffn 5591 . . . 4
4543, 44syl 16 . . 3
46 dff1o4 5682 . . 3
4741, 45, 46sylanbrc 646 . 2
4837, 47impbida 806 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  ccnv 4877   wfn 5449  wf 5450  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  cgrp 14685   cghm 15003 This theorem is referenced by:  isgim2  15052  lmhmf1o  16122 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-ghm 15004
 Copyright terms: Public domain W3C validator