Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf1o Unicode version

Theorem ghmf1o 14712
 Description: A bijective group homomorphism is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1o.x
ghmf1o.y
Assertion
Ref Expression
ghmf1o

Proof of Theorem ghmf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp2 14686 . . . . 5
2 ghmgrp1 14685 . . . . 5
31, 2jca 518 . . . 4
5 f1ocnv 5485 . . . . . 6
65adantl 452 . . . . 5
7 f1of 5472 . . . . 5
86, 7syl 15 . . . 4
9 simpll 730 . . . . . . . 8
108adantr 451 . . . . . . . . 9
11 simprl 732 . . . . . . . . 9
12 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . 8
14 simprr 733 . . . . . . . . 9
15 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
1610, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . . 8
17 ghmf1o.x . . . . . . . . 9
18 eqid 2283 . . . . . . . . 9
19 eqid 2283 . . . . . . . . 9
2017, 18, 19ghmlin 14688 . . . . . . . 8
219, 13, 16, 20syl3anc 1182 . . . . . . 7
22 simplr 731 . . . . . . . . 9
23 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . 9
2422, 11, 23syl2anc 642 . . . . . . . 8
25 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . 9
2622, 14, 25syl2anc 642 . . . . . . . 8
2724, 26oveq12d 5876 . . . . . . 7
2821, 27eqtrd 2315 . . . . . 6
299, 2syl 15 . . . . . . . 8
3017, 18grpcl 14495 . . . . . . . 8
3129, 13, 16, 30syl3anc 1182 . . . . . . 7
32 f1ocnvfv 5794 . . . . . . 7
3322, 31, 32syl2anc 642 . . . . . 6
3428, 33mpd 14 . . . . 5
3534ralrimivva 2635 . . . 4
368, 35jca 518 . . 3
37 ghmf1o.y . . . 4
3837, 17, 19, 18isghm 14683 . . 3
394, 36, 38sylanbrc 645 . 2
4017, 37ghmf 14687 . . . . 5
4140adantr 451 . . . 4
42 ffn 5389 . . . 4
4341, 42syl 15 . . 3
4437, 17ghmf 14687 . . . . 5
4544adantl 452 . . . 4
46 ffn 5389 . . . 4
4745, 46syl 15 . . 3
48 dff1o4 5480 . . 3
4943, 47, 48sylanbrc 645 . 2
5039, 49impbida 805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  ccnv 4688   wfn 5250  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  cgrp 14362   cghm 14680 This theorem is referenced by:  isgim2  14729  lmhmf1o  15803 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-ghm 14681
 Copyright terms: Public domain W3C validator