Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmmulg Structured version   Unicode version

Theorem ghmmulg 15049
 Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmmulg.b
ghmmulg.s .g
ghmmulg.t .g
Assertion
Ref Expression
ghmmulg

Proof of Theorem ghmmulg
StepHypRef Expression
1 ghmmhm 15047 . . . . . 6 MndHom
2 ghmmulg.b . . . . . . 7
3 ghmmulg.s . . . . . . 7 .g
4 ghmmulg.t . . . . . . 7 .g
52, 3, 4mhmmulg 14953 . . . . . 6 MndHom
61, 5syl3an1 1218 . . . . 5
763expa 1154 . . . 4
87an32s 781 . . 3
10 simpl1 961 . . . . . . . 8
1110, 1syl 16 . . . . . . 7 MndHom
12 nnnn0 10259 . . . . . . . 8
1312ad2antll 711 . . . . . . 7
14 simpl3 963 . . . . . . 7
152, 3, 4mhmmulg 14953 . . . . . . 7 MndHom
1611, 13, 14, 15syl3anc 1185 . . . . . 6
1716fveq2d 5761 . . . . 5
18 ghmgrp1 15039 . . . . . . . 8
1910, 18syl 16 . . . . . . 7
20 nnz 10334 . . . . . . . 8
2120ad2antll 711 . . . . . . 7
222, 3mulgcl 14938 . . . . . . 7
2319, 21, 14, 22syl3anc 1185 . . . . . 6
24 eqid 2442 . . . . . . 7
25 eqid 2442 . . . . . . 7
262, 24, 25ghminv 15044 . . . . . 6
2710, 23, 26syl2anc 644 . . . . 5
28 ghmgrp2 15040 . . . . . . 7
2910, 28syl 16 . . . . . 6
30 eqid 2442 . . . . . . . . 9
312, 30ghmf 15041 . . . . . . . 8
3210, 31syl 16 . . . . . . 7
3332, 14ffvelrnd 5900 . . . . . 6
3430, 4, 25mulgneg 14939 . . . . . 6
3529, 21, 33, 34syl3anc 1185 . . . . 5
3617, 27, 353eqtr4d 2484 . . . 4
372, 3, 24mulgneg 14939 . . . . . . 7
3819, 21, 14, 37syl3anc 1185 . . . . . 6
39 simprl 734 . . . . . . . . 9
4039recnd 9145 . . . . . . . 8
4140negnegd 9433 . . . . . . 7
4241oveq1d 6125 . . . . . 6
4338, 42eqtr3d 2476 . . . . 5
4443fveq2d 5761 . . . 4
4536, 44eqtr3d 2476 . . 3
4641oveq1d 6125 . . 3
4745, 46eqtr3d 2476 . 2
48 simp2 959 . . 3
49 elznn0nn 10326 . . 3
5048, 49sylib 190 . 2
519, 47, 50mpjaodan 763 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cr 9020  cneg 9323  cn 10031  cn0 10252  cz 10313  cbs 13500  cgrp 14716  cminusg 14717  .gcmg 14720   MndHom cmhm 14767   cghm 15034 This theorem is referenced by:  ghmcyg  15536  mulgrhm2  16819  dchrabs  21075 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-seq 11355  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-mulg 14846  df-ghm 15035
 Copyright terms: Public domain W3C validator