Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmnsgima Structured version   Unicode version

Theorem ghmnsgima 15031
 Description: The image of a normal subgroup under a surjective homomorphism is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ghmnsgima.1
Assertion
Ref Expression
ghmnsgima NrmSGrp NrmSGrp

Proof of Theorem ghmnsgima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . 3 NrmSGrp
2 nsgsubg 14974 . . . 4 NrmSGrp SubGrp
323ad2ant2 980 . . 3 NrmSGrp SubGrp
4 ghmima 15028 . . 3 SubGrp SubGrp
51, 3, 4syl2anc 644 . 2 NrmSGrp SubGrp
61adantr 453 . . . . . . 7 NrmSGrp
7 ghmgrp1 15010 . . . . . . . . 9
86, 7syl 16 . . . . . . . 8 NrmSGrp
9 simprl 734 . . . . . . . 8 NrmSGrp
10 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
1110subgss 14947 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
123, 11syl 16 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
1312adantr 453 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
14 simprr 735 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
1513, 14sseldd 3351 . . . . . . . 8 NrmSGrp
16 eqid 2438 . . . . . . . . 9
1710, 16grpcl 14820 . . . . . . . 8
188, 9, 15, 17syl3anc 1185 . . . . . . 7 NrmSGrp
19 eqid 2438 . . . . . . . 8
20 eqid 2438 . . . . . . . 8
2110, 19, 20ghmsub 15016 . . . . . . 7
226, 18, 9, 21syl3anc 1185 . . . . . 6 NrmSGrp
23 eqid 2438 . . . . . . . . 9
2410, 16, 23ghmlin 15013 . . . . . . . 8
256, 9, 15, 24syl3anc 1185 . . . . . . 7 NrmSGrp
2625oveq1d 6098 . . . . . 6 NrmSGrp
2722, 26eqtrd 2470 . . . . 5 NrmSGrp
28 ghmnsgima.1 . . . . . . . . . 10
2910, 28ghmf 15012 . . . . . . . . 9
301, 29syl 16 . . . . . . . 8 NrmSGrp
3130adantr 453 . . . . . . 7 NrmSGrp
32 ffn 5593 . . . . . . 7
3331, 32syl 16 . . . . . 6 NrmSGrp
34 simpl2 962 . . . . . . 7 NrmSGrp NrmSGrp
3510, 16, 19nsgconj 14975 . . . . . . 7 NrmSGrp
3634, 9, 14, 35syl3anc 1185 . . . . . 6 NrmSGrp
37 fnfvima 5978 . . . . . 6
3833, 13, 36, 37syl3anc 1185 . . . . 5 NrmSGrp
3927, 38eqeltrrd 2513 . . . 4 NrmSGrp
4039ralrimivva 2800 . . 3 NrmSGrp
4130, 32syl 16 . . . . 5 NrmSGrp
42 oveq1 6090 . . . . . . . . 9
43 id 21 . . . . . . . . 9
4442, 43oveq12d 6101 . . . . . . . 8
4544eleq1d 2504 . . . . . . 7
4645ralbidv 2727 . . . . . 6
4746ralrn 5875 . . . . 5
4841, 47syl 16 . . . 4 NrmSGrp
49 simp3 960 . . . . 5 NrmSGrp
5049raleqdv 2912 . . . 4 NrmSGrp
51 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
5251oveq1d 6098 . . . . . . . 8
5352eleq1d 2504 . . . . . . 7
5453ralima 5980 . . . . . 6
5541, 12, 54syl2anc 644 . . . . 5 NrmSGrp
5655ralbidv 2727 . . . 4 NrmSGrp
5748, 50, 563bitr3d 276 . . 3 NrmSGrp
5840, 57mpbird 225 . 2 NrmSGrp
5928, 23, 20isnsg3 14976 . 2 NrmSGrp SubGrp
605, 58, 59sylanbrc 647 1 NrmSGrp NrmSGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322   crn 4881  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  cgrp 14687  csg 14690  SubGrpcsubg 14940  NrmSGrpcnsg 14941   cghm 15005 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-ghm 15006
 Copyright terms: Public domain W3C validator