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Theorem ghmnsgima 15031
Description: The image of a normal subgroup under a surjective homomorphism is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ghmnsgima.1  |-  Y  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmnsgima  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  ( F " U )  e.  (NrmSGrp `  T ) )

Proof of Theorem ghmnsgima
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
2 nsgsubg 14974 . . . 4  |-  ( U  e.  (NrmSGrp `  S
)  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
323ad2ant2 980 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
4 ghmima 15028 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (SubGrp `  S )
)  ->  ( F " U )  e.  (SubGrp `  T ) )
51, 3, 4syl2anc 644 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  ( F " U )  e.  (SubGrp `  T ) )
61adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
7 ghmgrp1 15010 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  S  e.  Grp )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  ->  S  e.  Grp )
9 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  -> 
z  e.  ( Base `  S ) )
10 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1110subgss 14947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  S
)  ->  U  C_  ( Base `  S ) )
123, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  U  C_  ( Base `  S ) )
1312adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  S
) )
14 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  ->  x  e.  U )
1513, 14sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
16 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
1710, 16grpcl 14820 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
z ( +g  `  S
) x )  e.  ( Base `  S
) )
188, 9, 15, 17syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  -> 
( z ( +g  `  S ) x )  e.  ( Base `  S
) )
19 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  S )  =  (
-g `  S )
20 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  T )  =  (
-g `  T )
2110, 19, 20ghmsub 15016 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  (
z ( +g  `  S
) x )  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( F `  ( ( z ( +g  `  S ) x ) ( -g `  S ) z ) )  =  ( ( F `  ( z ( +g  `  S
) x ) ) ( -g `  T
) ( F `  z ) ) )
226, 18, 9, 21syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  -> 
( F `  (
( z ( +g  `  S ) x ) ( -g `  S
) z ) )  =  ( ( F `
 ( z ( +g  `  S ) x ) ) (
-g `  T )
( F `  z
) ) )
23 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
2410, 16, 23ghmlin 15013 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  z  e.  ( Base `  S
)  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( F `  ( z ( +g  `  S ) x ) )  =  ( ( F `  z ) ( +g  `  T
) ( F `  x ) ) )
256, 9, 15, 24syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  -> 
( F `  (
z ( +g  `  S
) x ) )  =  ( ( F `
 z ) ( +g  `  T ) ( F `  x
) ) )
2625oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  -> 
( ( F `  ( z ( +g  `  S ) x ) ) ( -g `  T
) ( F `  z ) )  =  ( ( ( F `
 z ) ( +g  `  T ) ( F `  x
) ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) ) )
2722, 26eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  -> 
( F `  (
( z ( +g  `  S ) x ) ( -g `  S
) z ) )  =  ( ( ( F `  z ) ( +g  `  T
) ( F `  x ) ) (
-g `  T )
( F `  z
) ) )
28 ghmnsgima.1 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( Base `  T
)
2910, 28ghmf 15012 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F :
( Base `  S ) --> Y )
301, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  F :
( Base `  S ) --> Y )
3130adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  ->  F : ( Base `  S
) --> Y )
32 ffn 5593 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  S
) --> Y  ->  F  Fn  ( Base `  S
) )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  ->  F  Fn  ( Base `  S ) )
34 simpl2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  ->  U  e.  (NrmSGrp `  S
) )
3510, 16, 19nsgconj 14975 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U
)  ->  ( (
z ( +g  `  S
) x ) (
-g `  S )
z )  e.  U
)
3634, 9, 14, 35syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  -> 
( ( z ( +g  `  S ) x ) ( -g `  S ) z )  e.  U )
37 fnfvima 5978 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  ( Base `  S )  /\  U  C_  ( Base `  S
)  /\  ( (
z ( +g  `  S
) x ) (
-g `  S )
z )  e.  U
)  ->  ( F `  ( ( z ( +g  `  S ) x ) ( -g `  S ) z ) )  e.  ( F
" U ) )
3833, 13, 36, 37syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  -> 
( F `  (
( z ( +g  `  S ) x ) ( -g `  S
) z ) )  e.  ( F " U ) )
3927, 38eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S
)  /\  ran  F  =  Y )  /\  (
z  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  U ) )  -> 
( ( ( F `
 z ) ( +g  `  T ) ( F `  x
) ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) )  e.  ( F " U ) )
4039ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  A. z  e.  ( Base `  S
) A. x  e.  U  ( ( ( F `  z ) ( +g  `  T
) ( F `  x ) ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  e.  ( F " U ) )
4130, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
42 oveq1 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
x ( +g  `  T
) y )  =  ( ( F `  z ) ( +g  `  T ) y ) )
43 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  x  =  ( F `  z ) )
4442, 43oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( x ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T
) x )  =  ( ( ( F `
 z ) ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) ) )
4544eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( ( x ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T ) x )  e.  ( F " U )  <->  ( (
( F `  z
) ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  e.  ( F " U ) ) )
4645ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( A. y  e.  ( F " U ) ( ( x ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T
) x )  e.  ( F " U
)  <->  A. y  e.  ( F " U ) ( ( ( F `
 z ) ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) )  e.  ( F " U ) ) )
4746ralrn 5875 . . . . 5  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  ( F " U ) ( ( x ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
x )  e.  ( F " U )  <->  A. z  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( F " U ) ( ( ( F `  z
) ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  e.  ( F " U ) ) )
4841, 47syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  ( F " U ) ( ( x ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
x )  e.  ( F " U )  <->  A. z  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( F " U ) ( ( ( F `  z
) ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  e.  ( F " U ) ) )
49 simp3 960 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  ran  F  =  Y )
5049raleqdv 2912 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  ( F " U ) ( ( x ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
x )  e.  ( F " U )  <->  A. x  e.  Y  A. y  e.  ( F " U ) ( ( x ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T
) x )  e.  ( F " U
) ) )
51 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
( F `  z
) ( +g  `  T
) y )  =  ( ( F `  z ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) )
5251oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
( ( F `  z ) ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T
) ( F `  z ) )  =  ( ( ( F `
 z ) ( +g  `  T ) ( F `  x
) ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) ) )
5352eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
( ( ( F `
 z ) ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) )  e.  ( F " U )  <->  ( (
( F `  z
) ( +g  `  T
) ( F `  x ) ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  e.  ( F " U ) ) )
5453ralima 5980 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  ( Base `  S )  /\  U  C_  ( Base `  S
) )  ->  ( A. y  e.  ( F " U ) ( ( ( F `  z ) ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T
) ( F `  z ) )  e.  ( F " U
)  <->  A. x  e.  U  ( ( ( F `
 z ) ( +g  `  T ) ( F `  x
) ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) )  e.  ( F " U ) ) )
5541, 12, 54syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  ( A. y  e.  ( F " U ) ( ( ( F `  z
) ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  e.  ( F " U )  <->  A. x  e.  U  ( ( ( F `
 z ) ( +g  `  T ) ( F `  x
) ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) )  e.  ( F " U ) ) )
5655ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  ( A. z  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( F " U
) ( ( ( F `  z ) ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  e.  ( F " U )  <->  A. z  e.  ( Base `  S ) A. x  e.  U  (
( ( F `  z ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ( -g `  T
) ( F `  z ) )  e.  ( F " U
) ) )
5748, 50, 563bitr3d 276 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  ( A. x  e.  Y  A. y  e.  ( F " U ) ( ( x ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
x )  e.  ( F " U )  <->  A. z  e.  ( Base `  S ) A. x  e.  U  (
( ( F `  z ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ( -g `  T
) ( F `  z ) )  e.  ( F " U
) ) )
5840, 57mpbird 225 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  ( F " U
) ( ( x ( +g  `  T
) y ) (
-g `  T )
x )  e.  ( F " U ) )
5928, 23, 20isnsg3 14976 . 2  |-  ( ( F " U )  e.  (NrmSGrp `  T
)  <->  ( ( F
" U )  e.  (SubGrp `  T )  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  ( F " U ) ( ( x ( +g  `  T ) y ) ( -g `  T
) x )  e.  ( F " U
) ) )
605, 58, 59sylanbrc 647 1  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  U  e.  (NrmSGrp `  S )  /\  ran  F  =  Y )  ->  ( F " U )  e.  (NrmSGrp `  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   ran crn 4881   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   Grpcgrp 14687   -gcsg 14690  SubGrpcsubg 14940  NrmSGrpcnsg 14941    GrpHom cghm 15005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-ghm 15006
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