Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmnsgpreima Unicode version

Theorem ghmnsgpreima 14723
 Description: The inverse image of a normal subgroup under a homomorphism is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ghmnsgpreima NrmSGrp NrmSGrp

Proof of Theorem ghmnsgpreima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14665 . . 3 NrmSGrp SubGrp
2 ghmpreima 14720 . . 3 SubGrp SubGrp
31, 2sylan2 460 . 2 NrmSGrp SubGrp
4 ghmgrp1 14701 . . . . . 6
54ad2antrr 706 . . . . 5 NrmSGrp
6 simprl 732 . . . . . 6 NrmSGrp
7 simprr 733 . . . . . . . 8 NrmSGrp
8 simpll 730 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
9 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
10 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
119, 10ghmf 14703 . . . . . . . . . . 11
128, 11syl 15 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
13 ffn 5405 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
15 elpreima 5661 . . . . . . . . 9
1614, 15syl 15 . . . . . . . 8 NrmSGrp
177, 16mpbid 201 . . . . . . 7 NrmSGrp
1817simpld 445 . . . . . 6 NrmSGrp
19 eqid 2296 . . . . . . 7
209, 19grpcl 14511 . . . . . 6
215, 6, 18, 20syl3anc 1182 . . . . 5 NrmSGrp
22 eqid 2296 . . . . . 6
239, 22grpsubcl 14562 . . . . 5
245, 21, 6, 23syl3anc 1182 . . . 4 NrmSGrp
25 eqid 2296 . . . . . . . 8
269, 22, 25ghmsub 14707 . . . . . . 7
278, 21, 6, 26syl3anc 1182 . . . . . 6 NrmSGrp
28 eqid 2296 . . . . . . . . 9
299, 19, 28ghmlin 14704 . . . . . . . 8
308, 6, 18, 29syl3anc 1182 . . . . . . 7 NrmSGrp
3130oveq1d 5889 . . . . . 6 NrmSGrp
3227, 31eqtrd 2328 . . . . 5 NrmSGrp
33 simplr 731 . . . . . 6 NrmSGrp NrmSGrp
34 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
3512, 6, 34syl2anc 642 . . . . . 6 NrmSGrp
3617simprd 449 . . . . . 6 NrmSGrp
3710, 28, 25nsgconj 14666 . . . . . 6 NrmSGrp
3833, 35, 36, 37syl3anc 1182 . . . . 5 NrmSGrp
3932, 38eqeltrd 2370 . . . 4 NrmSGrp
40 elpreima 5661 . . . . 5
4114, 40syl 15 . . . 4 NrmSGrp
4224, 39, 41mpbir2and 888 . . 3 NrmSGrp
4342ralrimivva 2648 . 2 NrmSGrp
449, 19, 22isnsg3 14667 . 2 NrmSGrp SubGrp
453, 43, 44sylanbrc 645 1 NrmSGrp NrmSGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  ccnv 4704  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   cplusg 13224  cgrp 14378  csg 14381  SubGrpcsubg 14631  NrmSGrpcnsg 14632   cghm 14696 This theorem is referenced by:  ghmker  14724 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-ghm 14697
 Copyright terms: Public domain W3C validator