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Theorem ghmplusg 15138
Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ghmplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  N )
Assertion
Ref Expression
ghmplusg  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( M  GrpHom  N ) )

Proof of Theorem ghmplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2283 . 2  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
3 eqid 2283 . 2  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
4 ghmplusg.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  N )
5 ghmgrp1 14685 . . 3  |-  ( G  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  M  e.  Grp )
653ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  M  e.  Grp )
7 ghmgrp2 14686 . . 3  |-  ( G  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  N  e.  Grp )
873ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  N  e.  Grp )
92, 4grpcl 14495 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  N
) )
1093expb 1152 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( x  .+  y )  e.  (
Base `  N )
)
118, 10sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N
)  /\  y  e.  ( Base `  N )
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  N
) )
121, 2ghmf 14687 . . . 4  |-  ( F  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  F :
( Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
13123ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  F : (
Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
141, 2ghmf 14687 . . . 4  |-  ( G  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  G :
( Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
15143ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  G : (
Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
16 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1716a1i 10 . . 3  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( Base `  M
)  e.  _V )
18 inidm 3378 . . 3  |-  ( (
Base `  M )  i^i  ( Base `  M
) )  =  (
Base `  M )
1911, 13, 15, 17, 17, 18off 6093 . 2  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( F  o F  .+  G ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  N
) )
201, 3, 4ghmlin 14688 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( F `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  x ) 
.+  ( F `  y ) ) )
21203expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  (
x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( F `  (
x ( +g  `  M
) y ) )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( F `  y ) ) )
22213ad2antl2 1118 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( F `  ( x
( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  x )  .+  ( F `  y )
) )
231, 3, 4ghmlin 14688 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( G `  x ) 
.+  ( G `  y ) ) )
24233expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  (
x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( G `  (
x ( +g  `  M
) y ) )  =  ( ( G `
 x )  .+  ( G `  y ) ) )
25243ad2antl3 1119 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( G `  ( x
( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( G `  x )  .+  ( G `  y )
) )
2622, 25oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F `  (
x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  .+  ( F `  y )
)  .+  ( ( G `  x )  .+  ( G `  y
) ) ) )
27 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  N  e.  Abel )
28 ablcmn 15095 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Abel  ->  N  e. CMnd
)
2927, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  N  e. CMnd )
30 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  M ) --> ( Base `  N )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3113, 30sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3231adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  N
) )
33 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  M ) --> ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )
3413, 33sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )
3534adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  M ) --> ( Base `  N )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3715, 36sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3837adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  N
) )
39 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  M ) --> ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) )
4015, 39sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) )
4140adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) )
422, 4cmn4 15108 . . . . 5  |-  ( ( N  e. CMnd  /\  (
( F `  x
)  e.  ( Base `  N )  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )  /\  (
( G `  x
)  e.  ( Base `  N )  /\  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  .+  ( F `  y ) )  .+  ( ( G `  x ) 
.+  ( G `  y ) ) )  =  ( ( ( F `  x ) 
.+  ( G `  x ) )  .+  ( ( F `  y )  .+  ( G `  y )
) ) )
4329, 32, 35, 38, 41, 42syl122anc 1191 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( F `  x )  .+  ( F `  y )
)  .+  ( ( G `  x )  .+  ( G `  y
) ) )  =  ( ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) )  .+  ( ( F `  y ) 
.+  ( G `  y ) ) ) )
4426, 43eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F `  (
x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
)  .+  ( ( F `  y )  .+  ( G `  y
) ) ) )
45 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( F : ( Base `  M
) --> ( Base `  N
)  ->  F  Fn  ( Base `  M )
)
4613, 45syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  F  Fn  ( Base `  M ) )
4746adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  F  Fn  ( Base `  M
) )
48 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  M
) --> ( Base `  N
)  ->  G  Fn  ( Base `  M )
)
4915, 48syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  G  Fn  ( Base `  M ) )
5049adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  G  Fn  ( Base `  M
) )
5116a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
521, 3grpcl 14495 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  ( Base `  M
) )
53523expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  (
Base `  M )
)
546, 53sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  ( Base `  M
) )
55 fnfvof 6090 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  M )  /\  G  Fn  ( Base `  M ) )  /\  ( ( Base `  M
)  e.  _V  /\  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( F  o F  .+  G ) `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  ( x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) ) )
5647, 50, 51, 54, 55syl22anc 1183 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  o F 
.+  G ) `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  ( x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) ) )
57 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
58 fnfvof 6090 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  M )  /\  G  Fn  ( Base `  M ) )  /\  ( ( Base `  M
)  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( ( F  o F  .+  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
5947, 50, 51, 57, 58syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  o F 
.+  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) )
60 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  y  e.  ( Base `  M
) )
61 fnfvof 6090 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  M )  /\  G  Fn  ( Base `  M ) )  /\  ( ( Base `  M
)  e.  _V  /\  y  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( ( F  o F  .+  G
) `  y )  =  ( ( F `
 y )  .+  ( G `  y ) ) )
6247, 50, 51, 60, 61syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  o F 
.+  G ) `  y )  =  ( ( F `  y
)  .+  ( G `  y ) ) )
6359, 62oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( F  o F  .+  G ) `  x )  .+  (
( F  o F 
.+  G ) `  y ) )  =  ( ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) )  .+  ( ( F `  y ) 
.+  ( G `  y ) ) ) )
6444, 56, 633eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  o F 
.+  G ) `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( ( F  o F 
.+  G ) `  x )  .+  (
( F  o F 
.+  G ) `  y ) ) )
651, 2, 3, 4, 6, 8, 19, 64isghmd 14692 1  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( M  GrpHom  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362    GrpHom cghm 14680  CMndccmn 15089   Abelcabel 15090
This theorem is referenced by:  lmhmplusg  15801  nmotri  18248  nghmplusg  18249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092
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