Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmplusg Structured version   Unicode version

Theorem ghmplusg 15463
 Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ghmplusg.p
Assertion
Ref Expression
ghmplusg

Proof of Theorem ghmplusg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2
2 eqid 2438 . 2
3 eqid 2438 . 2
4 ghmplusg.p . 2
5 ghmgrp1 15010 . . 3
7 ghmgrp2 15011 . . 3
92, 4grpcl 14820 . . . . 5
1093expb 1155 . . . 4
118, 10sylan 459 . . 3
121, 2ghmf 15012 . . . 4
141, 2ghmf 15012 . . . 4
16 fvex 5744 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 inidm 3552 . . 3
1911, 13, 15, 17, 17, 18off 6322 . 2
201, 3, 4ghmlin 15013 . . . . . . 7
21203expb 1155 . . . . . 6
22213ad2antl2 1121 . . . . 5
231, 3, 4ghmlin 15013 . . . . . . 7
24233expb 1155 . . . . . 6
25243ad2antl3 1122 . . . . 5
2622, 25oveq12d 6101 . . . 4
27 simpl1 961 . . . . . 6
28 ablcmn 15420 . . . . . 6 CMnd
2927, 28syl 16 . . . . 5 CMnd
3013ffvelrnda 5872 . . . . . 6
3130adantrr 699 . . . . 5
3213ffvelrnda 5872 . . . . . 6
3332adantrl 698 . . . . 5
3415ffvelrnda 5872 . . . . . 6
3534adantrr 699 . . . . 5
3615ffvelrnda 5872 . . . . . 6
3736adantrl 698 . . . . 5
382, 4cmn4 15433 . . . . 5 CMnd
3929, 31, 33, 35, 37, 38syl122anc 1194 . . . 4
4026, 39eqtrd 2470 . . 3
41 ffn 5593 . . . . . 6
4213, 41syl 16 . . . . 5
4342adantr 453 . . . 4
44 ffn 5593 . . . . . 6
4515, 44syl 16 . . . . 5
4645adantr 453 . . . 4
4716a1i 11 . . . 4
481, 3grpcl 14820 . . . . . 6
49483expb 1155 . . . . 5
506, 49sylan 459 . . . 4
51 fnfvof 6319 . . . 4
5243, 46, 47, 50, 51syl22anc 1186 . . 3
53 simprl 734 . . . . 5
54 fnfvof 6319 . . . . 5
5543, 46, 47, 53, 54syl22anc 1186 . . . 4
56 simprr 735 . . . . 5
57 fnfvof 6319 . . . . 5
5843, 46, 47, 56, 57syl22anc 1186 . . . 4
5955, 58oveq12d 6101 . . 3
6040, 52, 593eqtr4d 2480 . 2
611, 2, 3, 4, 6, 8, 19, 60isghmd 15017 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305  cbs 13471   cplusg 13531  cgrp 14687   cghm 15005  CMndccmn 15414  cabel 15415 This theorem is referenced by:  lmhmplusg  16122  nmotri  18775  nghmplusg  18776 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-ghm 15006  df-cmn 15416  df-abl 15417
 Copyright terms: Public domain W3C validator