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Theorem ghomf1olem 24001
Description: Lemma for ghomf1o 24002. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ghomf1olem.1  |-  X  =  ran  G
ghomf1olem.2  |-  Y  =  ran  F
ghomf1olem.3  |-  S  =  ( H  |`  ( Y  X.  Y ) )
ghomf1olem.4  |-  Z  =  ran  S
ghomf1olem.5  |-  U  =  (GId `  G )
ghomf1olem.6  |-  T  =  (GId `  H )
ghomf1olem.7  |-  N  =  ( inv `  G
)
Assertion
Ref Expression
ghomf1olem  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z 
<-> 
A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, H    x, T    x, U    x, X    x, Z    x, N
Allowed substitution hints:    S( x)    Y( x)

Proof of Theorem ghomf1olem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5471 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  F : X -1-1-> Z )
2 dff13 5783 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-> Z  <->  ( F : X --> Z  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
31, 2sylib 188 . . . . . 6  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  ( F : X --> Z  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
43simprd 449 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
5 ghomf1olem.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
6 ghomf1olem.5 . . . . . . . . 9  |-  U  =  (GId `  G )
75, 6grpoidcl 20884 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  U  e.  X )
8 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
98eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) ) )
10 equequ1 1648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  z  <->  x  =  z ) )
119, 10imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  z
)  ->  x  =  z ) ) )
12 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U  ->  ( F `  z )  =  ( F `  U ) )
1312eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  U ) ) )
14 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U  ->  (
x  =  z  <->  x  =  U ) )
1513, 14imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  z )  ->  x  =  z )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  ->  x  =  U ) ) )
1611, 15rspc2v 2890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  U  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
) )
1716expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
) ) )
187, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( x  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  ->  x  =  U ) ) ) )
1918com23 72 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z )  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
20193ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z )  -> 
( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
214, 20syl5 28 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
22 ghomf1olem.6 . . . . . . . 8  |-  T  =  (GId `  H )
236, 22ghomid 21032 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F `  U )  =  T )
2423eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  <->  ( F `  x )  =  T ) )
2524imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U )  <->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
2625imbi2d 307 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( x  e.  X  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
)  <->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) ) )
2721, 26sylibd 205 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) ) )
2827ralrimdv 2632 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
29 ghomf1olem.2 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ran  F
30 ghomf1olem.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( H  |`  ( Y  X.  Y ) )
31 ghomf1olem.4 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ran  S
325, 29, 30, 31ghomfo 23998 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F : X -onto-> Z )
3332adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -onto-> Z )
34 fof 5451 . . . . . 6  |-  ( F : X -onto-> Z  ->  F : X --> Z )
3533, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X --> Z )
36 ghomf1olem.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  ( inv `  G
)
375, 36grpoinvcl 20893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
38373adant2 974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
395grpocl 20867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X )
4038, 39syld3an3 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X )
41403expib 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y G ( N `  z ) )  e.  X ) )
42413ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X ) )
43 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) ) )
4443eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
( F `  x
)  =  T  <->  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T ) )
45 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
x  =  U  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
4644, 45imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  <->  ( ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) )  =  T  ->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) ) )
4746rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y G ( N `
 z ) )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  ( ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T  ->  (
y G ( N `
 z ) )  =  U ) ) )
4842, 47syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  ( ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T  ->  (
y G ( N `
 z ) )  =  U ) ) ) )
4948imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( F `
 x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  (
( F `  (
y G ( N `
 z ) ) )  =  T  -> 
( y G ( N `  z ) )  =  U ) ) )
50 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) H ( F `
 ( N `  z ) ) )  =  ( ( F `
 z ) H ( F `  ( N `  z )
) ) )
51503ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( ( F `  z ) H ( F `  ( N `  z ) ) ) )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
53373ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
5453adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( N `  z
)  e.  X )
5552, 54jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  e.  X  /\  ( N `  z
)  e.  X ) )
565ghomlin 21031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
5755, 56syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
58573adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
59 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
6059, 54jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  /\  ( N `  z
)  e.  X ) )
615ghomlin 21031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( z  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( z G ( N `  z
) ) ) )
6260, 61syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( z G ( N `  z
) ) ) )
635, 6, 36grporinv 20896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  (
z G ( N `
 z ) )  =  U )
64633ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z G ( N `
 z ) )  =  U )
6564adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z G ( N `  z ) )  =  U )
6665fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
z G ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 U ) )
6723adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  U
)  =  T )
6862, 66, 673eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  T )
69683adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  T )
7051, 58, 693eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( F `  (
y G ( N `
 z ) ) )  =  T )
71703expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T ) )
72 equcom 1647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
735, 36grpo2inv 20906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  ( N `  z ) )  =  z )
74733adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  ( N `  z ) )  =  z )
7574eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  z  =  y ) )
765, 6, 36grpoinvid2 20898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( N `  z )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
77763com23 1157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
7838, 77syld3an3 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
7975, 78bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
z  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
8072, 79syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y  =  z  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
81803expb 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( y  =  z  <->  ( y G ( N `  z
) )  =  U ) )
82813ad2antl1 1117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
8382biimprd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y G ( N `  z
) )  =  U  ->  y  =  z ) )
8471, 83imim12d 68 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) )  =  T  ->  ( y G ( N `  z ) )  =  U )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8549, 84syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( F `
 x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8685impancom 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  -> 
( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8786ralrimivv 2634 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
8835, 87, 2sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -1-1-> Z )
89 df-f1o 5262 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  <->  ( F : X -1-1-> Z  /\  F : X -onto-> Z ) )
9088, 33, 89sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Z )
9190ex 423 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  F : X -1-1-onto-> Z ) )
9228, 91impbid 183 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z 
<-> 
A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853  GIdcgi 20854   invcgn 20855   GrpOpHom cghom 21024
This theorem is referenced by:  ghomf1o  24002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-subgo 20969  df-ghom 21025
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