Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ghomf1olem Structured version   Unicode version

Theorem ghomf1olem 25107
Description: Lemma for ghomf1o 25108. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ghomf1olem.1  |-  X  =  ran  G
ghomf1olem.2  |-  Y  =  ran  F
ghomf1olem.3  |-  S  =  ( H  |`  ( Y  X.  Y ) )
ghomf1olem.4  |-  Z  =  ran  S
ghomf1olem.5  |-  U  =  (GId `  G )
ghomf1olem.6  |-  T  =  (GId `  H )
ghomf1olem.7  |-  N  =  ( inv `  G
)
Assertion
Ref Expression
ghomf1olem  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z 
<-> 
A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, H    x, T    x, U    x, X    x, Z    x, N
Allowed substitution hints:    S( x)    Y( x)

Proof of Theorem ghomf1olem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5675 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  F : X -1-1-> Z )
2 dff13 6006 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-> Z  <->  ( F : X --> Z  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
31, 2sylib 190 . . . . . 6  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  ( F : X --> Z  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
43simprd 451 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
5 ghomf1olem.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
6 ghomf1olem.5 . . . . . . . . 9  |-  U  =  (GId `  G )
75, 6grpoidcl 21807 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  U  e.  X )
8 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
98eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) ) )
10 equequ1 1697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  z  <->  x  =  z ) )
119, 10imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  z
)  ->  x  =  z ) ) )
12 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U  ->  ( F `  z )  =  ( F `  U ) )
1312eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  U ) ) )
14 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U  ->  (
x  =  z  <->  x  =  U ) )
1513, 14imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  z )  ->  x  =  z )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  ->  x  =  U ) ) )
1611, 15rspc2v 3060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  U  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
) )
1716expcom 426 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
) ) )
187, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( x  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  ->  x  =  U ) ) ) )
1918com23 75 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z )  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
20193ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z )  -> 
( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
214, 20syl5 31 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
22 ghomf1olem.6 . . . . . . . 8  |-  T  =  (GId `  H )
236, 22ghomid 21955 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F `  U )  =  T )
2423eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  <->  ( F `  x )  =  T ) )
2524imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U )  <->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
2625imbi2d 309 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( x  e.  X  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
)  <->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) ) )
2721, 26sylibd 207 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) ) )
2827ralrimdv 2797 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
29 ghomf1olem.2 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ran  F
30 ghomf1olem.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( H  |`  ( Y  X.  Y ) )
31 ghomf1olem.4 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ran  S
325, 29, 30, 31ghomfo 25104 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F : X -onto-> Z )
3332adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -onto-> Z )
34 fof 5655 . . . . . 6  |-  ( F : X -onto-> Z  ->  F : X --> Z )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X --> Z )
36 ghomf1olem.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  ( inv `  G
)
375, 36grpoinvcl 21816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
38373adant2 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
395grpocl 21790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X )
4038, 39syld3an3 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X )
41403expib 1157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y G ( N `  z ) )  e.  X ) )
42413ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X ) )
43 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) ) )
4443eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
( F `  x
)  =  T  <->  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T ) )
45 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
x  =  U  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
4644, 45imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  <->  ( ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) )  =  T  ->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) ) )
4746rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y G ( N `
 z ) )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  ( ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T  ->  (
y G ( N `
 z ) )  =  U ) ) )
4842, 47syl6 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  ( ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T  ->  (
y G ( N `
 z ) )  =  U ) ) ) )
4948imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( F `
 x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  (
( F `  (
y G ( N `
 z ) ) )  =  T  -> 
( y G ( N `  z ) )  =  U ) ) )
50 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) H ( F `
 ( N `  z ) ) )  =  ( ( F `
 z ) H ( F `  ( N `  z )
) ) )
51503ad2ant3 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( ( F `  z ) H ( F `  ( N `  z ) ) ) )
52 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
53373ad2antl1 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
5453adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( N `  z
)  e.  X )
5552, 54jca 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  e.  X  /\  ( N `  z
)  e.  X ) )
565ghomlin 21954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
5755, 56syldan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
58573adant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
59 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
6059, 54jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  /\  ( N `  z
)  e.  X ) )
615ghomlin 21954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( z  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( z G ( N `  z
) ) ) )
6260, 61syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( z G ( N `  z
) ) ) )
635, 6, 36grporinv 21819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  (
z G ( N `
 z ) )  =  U )
64633ad2antl1 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z G ( N `
 z ) )  =  U )
6564adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z G ( N `  z ) )  =  U )
6665fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
z G ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 U ) )
6723adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  U
)  =  T )
6862, 66, 673eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  T )
69683adant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  T )
7051, 58, 693eqtr3d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( F `  (
y G ( N `
 z ) ) )  =  T )
71703expia 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T ) )
72 equcom 1693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
735, 36grpo2inv 21829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  ( N `  z ) )  =  z )
74733adant2 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  ( N `  z ) )  =  z )
7574eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  z  =  y ) )
765, 6, 36grpoinvid2 21821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( N `  z )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
77763com23 1160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
7838, 77syld3an3 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
7975, 78bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
z  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
8072, 79syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y  =  z  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
81803expb 1155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( y  =  z  <->  ( y G ( N `  z
) )  =  U ) )
82813ad2antl1 1120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
8382biimprd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y G ( N `  z
) )  =  U  ->  y  =  z ) )
8471, 83imim12d 71 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) )  =  T  ->  ( y G ( N `  z ) )  =  U )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8549, 84syld 43 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( F `
 x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8685impancom 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  -> 
( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8786ralrimivv 2799 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
8835, 87, 2sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -1-1-> Z )
89 df-f1o 5463 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  <->  ( F : X -1-1-> Z  /\  F : X -onto-> Z ) )
9088, 33, 89sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Z )
9190ex 425 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  F : X -1-1-onto-> Z ) )
9228, 91impbid 185 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z 
<-> 
A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    X. cxp 4878   ran crn 4881    |` cres 4882   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -onto->wfo 5454   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   GrpOpcgr 21776  GIdcgi 21777   invcgn 21778   GrpOpHom cghom 21947
This theorem is referenced by:  ghomf1o  25108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-subgo 21892  df-ghom 21948
  Copyright terms: Public domain W3C validator