Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghsubgolem Structured version   Unicode version

Theorem ghsubgolem 21963
 Description: The image of a subgroup of group under a group homomorphism on is a group, and furthermore is Abelian if is Abelian. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghsubgo.1
ghsubgo.2
ghsubgo.3
ghsubgo.4
ghsubgo.5
ghsubgo.6
ghsubgo.7
ghsubgo.8
ghsubgo.9
Assertion
Ref Expression
ghsubgolem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ghsubgolem
StepHypRef Expression
1 ghsubgo.3 . . . . 5
2 ffun 5596 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 ghsubgo.1 . . . . . 6
5 ghsubgo.2 . . . . . . 7
6 ghsubgo.7 . . . . . . 7
75, 6subgornss 21899 . . . . . 6
84, 7syl 16 . . . . 5
9 fdm 5598 . . . . . 6
101, 9syl 16 . . . . 5
118, 10sseqtr4d 3387 . . . 4
12 fores 5665 . . . 4
133, 11, 12syl2anc 644 . . 3
14 ssel2 3345 . . . . . . 7
15 ssel2 3345 . . . . . . 7
1614, 15anim12dan 812 . . . . . 6
178, 16sylan 459 . . . . 5
18 ghsubgo.6 . . . . 5
1917, 18syldan 458 . . . 4
20 issubgo 21896 . . . . . . . . 9
2120simp2bi 974 . . . . . . . 8
224, 21syl 16 . . . . . . 7
236grpocl 21793 . . . . . . . 8
24233expb 1155 . . . . . . 7
2522, 24sylan 459 . . . . . 6
26 fvres 5748 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
286subgoov 21898 . . . . . . 7
294, 28sylan 459 . . . . . 6
3029fveq2d 5735 . . . . 5
3127, 30eqtrd 2470 . . . 4
32 fvres 5748 . . . . . 6
33 fvres 5748 . . . . . 6
3432, 33oveqan12d 6103 . . . . 5
3534adantl 454 . . . 4
3619, 31, 353eqtr4d 2480 . . 3
37 ghsubgo.9 . . . 4
38 ghsubgo.8 . . . . . 6
3938, 38xpeq12i 4903 . . . . 5
4039reseq2i 5146 . . . 4
4137, 40eqtri 2458 . . 3
42 imassrn 5219 . . . . 5
43 frn 5600 . . . . . 6
441, 43syl 16 . . . . 5
4542, 44syl5ss 3361 . . . 4
46 ghsubgo.4 . . . 4
4745, 46sstrd 3360 . . 3
48 ghsubgo.5 . . 3
4913, 36, 41, 6, 47, 48, 22ghgrp 21961 . 2
5013adantr 453 . . . 4
5136adantlr 697 . . . 4
5247adantr 453 . . . 4
5348adantr 453 . . . 4
54 simpr 449 . . . 4
5550, 51, 41, 6, 52, 53, 54ghablo 21962 . . 3
5655ex 425 . 2
5749, 56jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322   cxp 4879   cdm 4881   crn 4882   cres 4883  cima 4884   wfun 5451   wfn 5452  wf 5453  wfo 5455  cfv 5457  (class class class)co 6084  cgr 21779  cablo 21874  csubgo 21894 This theorem is referenced by:  ghsubgo  21964  ghsubablo  21965 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gdiv 21787  df-ablo 21875  df-subgo 21895
 Copyright terms: Public domain W3C validator