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Theorem gicabl 27263
Description: Being Abelian is a group invariant. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
gicabl  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)

Proof of Theorem gicabl
Dummy variables  w  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 14733 . 2  |-  ( G 
~=ph𝑔  H 
<->  ( G GrpIso  H )  =/=  (/) )
2 n0 3464 . . 3  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( G GrpIso  H ) )
3 gimghm 14728 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x  e.  ( G  GrpHom  H ) )
4 ghmgrp1 14685 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  G  e.  Grp )
53, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  G  e.  Grp )
6 ghmgrp2 14686 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  H  e.  Grp )
73, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  H  e.  Grp )
85, 72thd 231 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Grp  <->  H  e.  Grp ) )
9 grpmnd 14494 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
105, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  G  e.  Mnd )
11 grpmnd 14494 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  e.  Mnd )
127, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  H  e.  Mnd )
1310, 122thd 231 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Mnd  <->  H  e.  Mnd ) )
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
15 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
1614, 15gimf1o 14727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x :
( Base `  G ) -1-1-onto-> ( Base `  H ) )
17 f1of1 5471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x : ( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x :
( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H
) )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x : ( Base `  G
) -1-1-> ( Base `  H
) )
205adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
22 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  G ) )
23 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2414, 23grpcl 14495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  ( Base `  G
) )
2520, 21, 22, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
) )
2614, 23grpcl 14495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
z ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
2720, 22, 21, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( z ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
28 f1fveq 5786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x : ( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H )  /\  (
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( z
( +g  `  G ) y )  e.  (
Base `  G )
) )  ->  (
( x `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( x `  ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) ) )
2919, 25, 27, 28syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x `
 ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) ) )
303adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x  e.  ( G  GrpHom  H ) )
31 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
3214, 23, 31ghmlin 14688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  y  e.  ( Base `  G
)  /\  z  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) ( x `  z ) ) )
3330, 21, 22, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) ) )
3414, 23, 31ghmlin 14688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x `  ( z ( +g  `  G ) y ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) )
3530, 22, 21, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x `  (
z ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( x `
 z ) ( +g  `  H ) ( x `  y
) ) )
3633, 35eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x `
 ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
3729, 36bitr3d 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
38372ralbidva 2583 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
39 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x : ( Base `  G ) -onto-> ( Base `  H ) )
40 foima 5456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
) -onto-> ( Base `  H
)  ->  ( x " ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  ( x " ( Base `  G ) )  =  ( Base `  H
) )
4216, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( x " ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
4342raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
44 f1ofn 5473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x  Fn  ( Base `  G ) )
4516, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x  Fn  ( Base `  G )
)
46 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
47 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H ) ( x `
 z ) ) )
48 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
v ( +g  `  H
) ( x `  y ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) )
4947, 48eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
( ( x `  y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `  y
) )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5049ralima 5758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  Fn  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5145, 46, 50sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5243, 51bitr3d 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5352ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5438, 53bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5542raleqdv 2742 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. w  e.  ( Base `  H
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w ) ) )
56 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
w ( +g  `  H
) v )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H ) v ) )
57 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
v ( +g  `  H
) w )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) )
5856, 57eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5958ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  ( A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w )  <->  A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
6059ralima 5758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  Fn  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6145, 46, 60sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6255, 61bitr3d 246 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6354, 62bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. w  e.  ( Base `  H
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w ) ) )
6413, 63anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( ( G  e.  Mnd  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) )  <-> 
( H  e.  Mnd  /\ 
A. w  e.  (
Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w ) ) ) )
6514, 23iscmn 15096 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. y  e.  (
Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G ) ( y ( +g  `  G
) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y ) ) )
6615, 31iscmn 15096 . . . . . . 7  |-  ( H  e. CMnd 
<->  ( H  e.  Mnd  /\ 
A. w  e.  (
Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w ) ) )
6764, 65, 663bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e. CMnd  <-> 
H  e. CMnd ) )
688, 67anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e. CMnd )  <->  ( H  e. 
Grp  /\  H  e. CMnd ) ) )
69 isabl 15093 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
70 isabl 15093 . . . . 5  |-  ( H  e.  Abel  <->  ( H  e. 
Grp  /\  H  e. CMnd ) )
7168, 69, 703bitr4g 279 . . . 4  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Abel  <->  H  e.  Abel ) )
7271exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  ( G GrpIso  H )  -> 
( G  e.  Abel  <->  H  e.  Abel ) )
732, 72sylbi 187 . 2  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/)  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)
741, 73sylbi 187 1  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   "cima 4692    Fn wfn 5250   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362    GrpHom cghm 14680   GrpIso cgim 14721    ~=ph𝑔 cgic 14722  CMndccmn 15089   Abelcabel 15090
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  27266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-gic 14724  df-cmn 15091  df-abl 15092
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