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Theorem gicabl 27366
Description: Being Abelian is a group invariant. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
gicabl  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)

Proof of Theorem gicabl
Dummy variables  w  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 14749 . 2  |-  ( G 
~=ph𝑔  H 
<->  ( G GrpIso  H )  =/=  (/) )
2 n0 3477 . . 3  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( G GrpIso  H ) )
3 gimghm 14744 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x  e.  ( G  GrpHom  H ) )
4 ghmgrp1 14701 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  G  e.  Grp )
53, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  G  e.  Grp )
6 ghmgrp2 14702 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  H  e.  Grp )
73, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  H  e.  Grp )
85, 72thd 231 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Grp  <->  H  e.  Grp ) )
9 grpmnd 14510 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
105, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  G  e.  Mnd )
11 grpmnd 14510 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  e.  Mnd )
127, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  H  e.  Mnd )
1310, 122thd 231 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Mnd  <->  H  e.  Mnd ) )
14 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
15 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
1614, 15gimf1o 14743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x :
( Base `  G ) -1-1-onto-> ( Base `  H ) )
17 f1of1 5487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x : ( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x :
( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H
) )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x : ( Base `  G
) -1-1-> ( Base `  H
) )
205adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
22 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  G ) )
23 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2414, 23grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  ( Base `  G
) )
2520, 21, 22, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
) )
2614, 23grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
z ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
2720, 22, 21, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( z ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
28 f1fveq 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x : ( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H )  /\  (
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( z
( +g  `  G ) y )  e.  (
Base `  G )
) )  ->  (
( x `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( x `  ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) ) )
2919, 25, 27, 28syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x `
 ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) ) )
303adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x  e.  ( G  GrpHom  H ) )
31 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
3214, 23, 31ghmlin 14704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  y  e.  ( Base `  G
)  /\  z  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) ( x `  z ) ) )
3330, 21, 22, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) ) )
3414, 23, 31ghmlin 14704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x `  ( z ( +g  `  G ) y ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) )
3530, 22, 21, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x `  (
z ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( x `
 z ) ( +g  `  H ) ( x `  y
) ) )
3633, 35eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x `
 ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
3729, 36bitr3d 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
38372ralbidva 2596 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
39 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x : ( Base `  G ) -onto-> ( Base `  H ) )
40 foima 5472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
) -onto-> ( Base `  H
)  ->  ( x " ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  ( x " ( Base `  G ) )  =  ( Base `  H
) )
4216, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( x " ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
4342raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
44 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x  Fn  ( Base `  G ) )
4516, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x  Fn  ( Base `  G )
)
46 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
47 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H ) ( x `
 z ) ) )
48 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
v ( +g  `  H
) ( x `  y ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) )
4947, 48eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
( ( x `  y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `  y
) )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5049ralima 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  Fn  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5145, 46, 50sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5243, 51bitr3d 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5352ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5438, 53bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5542raleqdv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. w  e.  ( Base `  H
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w ) ) )
56 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
w ( +g  `  H
) v )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H ) v ) )
57 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
v ( +g  `  H
) w )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) )
5856, 57eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5958ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  ( A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w )  <->  A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
6059ralima 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  Fn  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6145, 46, 60sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6255, 61bitr3d 246 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6354, 62bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. w  e.  ( Base `  H
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w ) ) )
6413, 63anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( ( G  e.  Mnd  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) )  <-> 
( H  e.  Mnd  /\ 
A. w  e.  (
Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w ) ) ) )
6514, 23iscmn 15112 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. y  e.  (
Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G ) ( y ( +g  `  G
) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y ) ) )
6615, 31iscmn 15112 . . . . . . 7  |-  ( H  e. CMnd 
<->  ( H  e.  Mnd  /\ 
A. w  e.  (
Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w ) ) )
6764, 65, 663bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e. CMnd  <-> 
H  e. CMnd ) )
688, 67anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e. CMnd )  <->  ( H  e. 
Grp  /\  H  e. CMnd ) ) )
69 isabl 15109 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
70 isabl 15109 . . . . 5  |-  ( H  e.  Abel  <->  ( H  e. 
Grp  /\  H  e. CMnd ) )
7168, 69, 703bitr4g 279 . . . 4  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Abel  <->  H  e.  Abel ) )
7271exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  ( G GrpIso  H )  -> 
( G  e.  Abel  <->  H  e.  Abel ) )
732, 72sylbi 187 . 2  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/)  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)
741, 73sylbi 187 1  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   "cima 4708    Fn wfn 5266   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378    GrpHom cghm 14696   GrpIso cgim 14737    ~=ph𝑔 cgic 14738  CMndccmn 15105   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  27369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-gic 14740  df-cmn 15107  df-abl 15108
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