MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  giccyg Unicode version

Theorem giccyg 15202
Description: Cyclicity is a group property, i.e. it is preserved under isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
giccyg  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp ) )

Proof of Theorem giccyg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 14749 . 2  |-  ( G 
~=ph𝑔  H 
<->  ( G GrpIso  H )  =/=  (/) )
2 n0 3477 . . 3  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( G GrpIso  H ) )
3 gimghm 14744 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  f  e.  ( G  GrpHom  H ) )
4 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
5 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
64, 5gimf1o 14743 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  f :
( Base `  G ) -1-1-onto-> ( Base `  H ) )
7 f1ofo 5495 . . . . . 6  |-  ( f : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  f : ( Base `  G ) -onto-> ( Base `  H ) )
86, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  f :
( Base `  G ) -onto->
( Base `  H )
)
94, 5ghmcyg 15198 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  f : ( Base `  G
) -onto-> ( Base `  H
) )  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp
) )
103, 8, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( f  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp )
)
1110exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( G GrpIso  H )  -> 
( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp ) )
122, 11sylbi 187 . 2  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/)  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp ) )
131, 12sylbi 187 1  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1531    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164    GrpHom cghm 14696   GrpIso cgim 14737    ~=ph𝑔 cgic 14738  CycGrpccyg 15180
This theorem is referenced by:  cygth  16541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-gic 14740  df-cyg 15181
  Copyright terms: Public domain W3C validator