MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  giccyg Structured version   Unicode version

Theorem giccyg 15501
Description: Cyclicity is a group property, i.e. it is preserved under isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
giccyg  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp ) )

Proof of Theorem giccyg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 15048 . 2  |-  ( G 
~=ph𝑔  H 
<->  ( G GrpIso  H )  =/=  (/) )
2 n0 3629 . . 3  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( G GrpIso  H ) )
3 gimghm 15043 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  f  e.  ( G  GrpHom  H ) )
4 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
5 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
64, 5gimf1o 15042 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  f :
( Base `  G ) -1-1-onto-> ( Base `  H ) )
7 f1ofo 5673 . . . . . 6  |-  ( f : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  f : ( Base `  G ) -onto-> ( Base `  H ) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  f :
( Base `  G ) -onto->
( Base `  H )
)
94, 5ghmcyg 15497 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  f : ( Base `  G
) -onto-> ( Base `  H
) )  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp
) )
103, 8, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( f  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp )
)
1110exlimiv 1644 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( G GrpIso  H )  -> 
( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp ) )
122, 11sylbi 188 . 2  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/)  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp ) )
131, 12sylbi 188 1  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. CycGrp  ->  H  e. CycGrp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2598   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461    GrpHom cghm 14995   GrpIso cgim 15036    ~=ph𝑔 cgic 15037  CycGrpccyg 15479
This theorem is referenced by:  cygth  16844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-ghm 14996  df-gim 15038  df-gic 15039  df-cyg 15480
  Copyright terms: Public domain W3C validator