MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ginvsn Structured version   Unicode version

Theorem ginvsn 21929
Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ablsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ginvsn  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )

Proof of Theorem ginvsn
StepHypRef Expression
1 ablsn.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 fvi 5775 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (  _I  `  A )  =  A )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  (  _I 
`  A )  =  A
43opeq2i 3980 . . 3  |-  <. A , 
(  _I  `  A
) >.  =  <. A ,  A >.
54sneqi 3818 . 2  |-  { <. A ,  (  _I  `  A ) >. }  =  { <. A ,  A >. }
6 f1ovi 5706 . . . 4  |-  _I  : _V
-1-1-onto-> _V
7 f1of 5666 . . . 4  |-  (  _I  : _V -1-1-onto-> _V  ->  _I  : _V --> _V )
8 ffn 5583 . . . 4  |-  (  _I  : _V --> _V  ->  _I  Fn  _V )
96, 7, 8mp2b 10 . . 3  |-  _I  Fn  _V
10 fnressn 5910 . . 3  |-  ( (  _I  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A ,  (  _I 
`  A ) >. } )
119, 1, 10mp2an 654 . 2  |-  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A , 
(  _I  `  A
) >. }
121grposn 21795 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
13 opex 4419 . . . . . . 7  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
1413rnsnop 5342 . . . . . 6  |-  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { A }
1514eqcomi 2439 . . . . 5  |-  { A }  =  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
16 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )
1715, 16grpoinvf 21820 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } )
18 f1of 5666 . . . 4  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A }  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } )
1912, 17, 18mp2b 10 . . 3  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A }
201, 1fsn 5898 . . 3  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } 
<->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. } )
2119, 20mpbi 200 . 2  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. }
225, 11, 213eqtr4ri 2466 1  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806   <.cop 3809    _I cid 4485   ran crn 4871    |` cres 4872    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446   GrpOpcgr 21766   invcgn 21768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773
  Copyright terms: Public domain W3C validator