MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ginvsn Unicode version

Theorem ginvsn 21787
Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ablsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ginvsn  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )

Proof of Theorem ginvsn
StepHypRef Expression
1 ablsn.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 fvi 5724 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (  _I  `  A )  =  A )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  (  _I 
`  A )  =  A
43opeq2i 3932 . . 3  |-  <. A , 
(  _I  `  A
) >.  =  <. A ,  A >.
54sneqi 3771 . 2  |-  { <. A ,  (  _I  `  A ) >. }  =  { <. A ,  A >. }
6 f1ovi 5656 . . . 4  |-  _I  : _V
-1-1-onto-> _V
7 f1of 5616 . . . 4  |-  (  _I  : _V -1-1-onto-> _V  ->  _I  : _V --> _V )
8 ffn 5533 . . . 4  |-  (  _I  : _V --> _V  ->  _I  Fn  _V )
96, 7, 8mp2b 10 . . 3  |-  _I  Fn  _V
10 fnressn 5859 . . 3  |-  ( (  _I  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A ,  (  _I 
`  A ) >. } )
119, 1, 10mp2an 654 . 2  |-  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A , 
(  _I  `  A
) >. }
121grposn 21653 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
13 opex 4370 . . . . . . 7  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
1413rnsnop 5292 . . . . . 6  |-  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { A }
1514eqcomi 2393 . . . . 5  |-  { A }  =  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
16 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )
1715, 16grpoinvf 21678 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } )
18 f1of 5616 . . . 4  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A }  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } )
1912, 17, 18mp2b 10 . . 3  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A }
201, 1fsn 5847 . . 3  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } 
<->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. } )
2119, 20mpbi 200 . 2  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. }
225, 11, 213eqtr4ri 2420 1  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   {csn 3759   <.cop 3762    _I cid 4436   ran crn 4821    |` cres 4822    Fn wfn 5391   -->wf 5392   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396   GrpOpcgr 21624   invcgn 21626
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-riota 6487  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631
  Copyright terms: Public domain W3C validator