MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ginvsn Unicode version

Theorem ginvsn 21032
Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ablsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ginvsn  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )

Proof of Theorem ginvsn
StepHypRef Expression
1 ablsn.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 fvi 5595 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (  _I  `  A )  =  A )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  (  _I 
`  A )  =  A
43opeq2i 3816 . . 3  |-  <. A , 
(  _I  `  A
) >.  =  <. A ,  A >.
54sneqi 3665 . 2  |-  { <. A ,  (  _I  `  A ) >. }  =  { <. A ,  A >. }
6 f1ovi 5528 . . . 4  |-  _I  : _V
-1-1-onto-> _V
7 f1of 5488 . . . 4  |-  (  _I  : _V -1-1-onto-> _V  ->  _I  : _V --> _V )
8 ffn 5405 . . . 4  |-  (  _I  : _V --> _V  ->  _I  Fn  _V )
96, 7, 8mp2b 9 . . 3  |-  _I  Fn  _V
10 fnressn 5721 . . 3  |-  ( (  _I  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A ,  (  _I 
`  A ) >. } )
119, 1, 10mp2an 653 . 2  |-  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A , 
(  _I  `  A
) >. }
121grposn 20898 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
13 opex 4253 . . . . . . 7  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
1413rnsnop 5169 . . . . . 6  |-  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { A }
1514eqcomi 2300 . . . . 5  |-  { A }  =  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
16 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )
1715, 16grpoinvf 20923 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } )
18 f1of 5488 . . . 4  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A }  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } )
1912, 17, 18mp2b 9 . . 3  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A }
201, 1fsn 5712 . . 3  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } 
<->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. } )
2119, 20mpbi 199 . 2  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. }
225, 11, 213eqtr4ri 2327 1  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {csn 3653   <.cop 3656    _I cid 4320   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   GrpOpcgr 20869   invcgn 20871
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876
  Copyright terms: Public domain W3C validator