MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ginvsn Unicode version

Theorem ginvsn 21016
Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ablsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ginvsn  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )

Proof of Theorem ginvsn
StepHypRef Expression
1 ablsn.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 fvi 5579 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (  _I  `  A )  =  A )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  (  _I 
`  A )  =  A
43opeq2i 3800 . . 3  |-  <. A , 
(  _I  `  A
) >.  =  <. A ,  A >.
54sneqi 3652 . 2  |-  { <. A ,  (  _I  `  A ) >. }  =  { <. A ,  A >. }
6 f1ovi 5512 . . . 4  |-  _I  : _V
-1-1-onto-> _V
7 f1of 5472 . . . 4  |-  (  _I  : _V -1-1-onto-> _V  ->  _I  : _V --> _V )
8 ffn 5389 . . . 4  |-  (  _I  : _V --> _V  ->  _I  Fn  _V )
96, 7, 8mp2b 9 . . 3  |-  _I  Fn  _V
10 fnressn 5705 . . 3  |-  ( (  _I  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A ,  (  _I 
`  A ) >. } )
119, 1, 10mp2an 653 . 2  |-  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A , 
(  _I  `  A
) >. }
121grposn 20882 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
13 opex 4237 . . . . . . 7  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
1413rnsnop 5153 . . . . . 6  |-  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { A }
1514eqcomi 2287 . . . . 5  |-  { A }  =  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
16 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )
1715, 16grpoinvf 20907 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } )
18 f1of 5472 . . . 4  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A }  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } )
1912, 17, 18mp2b 9 . . 3  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A }
201, 1fsn 5696 . . 3  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } 
<->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. } )
2119, 20mpbi 199 . 2  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. }
225, 11, 213eqtr4ri 2314 1  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643    _I cid 4304   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   GrpOpcgr 20853   invcgn 20855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860
  Copyright terms: Public domain W3C validator