Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  glb0N Structured version   Unicode version

Theorem glb0N 30053
 Description: The greatest lower bound of the empty set is the unit element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glb0.g
glb0.u
Assertion
Ref Expression
glb0N

Proof of Theorem glb0N
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 3658 . . 3
2 eqid 2438 . . . 4
3 eqid 2438 . . . 4
4 glb0.g . . . 4
52, 3, 4glbval 14443 . . 3
61, 5mpan2 654 . 2
7 glb0.u . . . 4
82, 7op1cl 30045 . . 3
9 ral0 3734 . . . . . . . 8
109a1bi 329 . . . . . . 7
1110ralbii 2731 . . . . . 6
12 ral0 3734 . . . . . . 7
1312biantrur 494 . . . . . 6
1411, 13bitri 242 . . . . 5
15 breq1 4217 . . . . . . . . 9
1615rspcv 3050 . . . . . . . 8
17163ad2ant2 980 . . . . . . 7
182, 3, 7op1le 30052 . . . . . . . 8
19183adant2 977 . . . . . . 7
2017, 19sylibd 207 . . . . . 6
212, 3, 7ople1 30051 . . . . . . . . 9
22213ad2antl1 1120 . . . . . . . 8
23 breq2 4218 . . . . . . . 8
2422, 23syl5ibrcom 215 . . . . . . 7
2524ralrimdva 2798 . . . . . 6
2620, 25impbid 185 . . . . 5
2714, 26syl5bbr 252 . . . 4
2827riota5OLD 6578 . . 3
298, 28mpdan 651 . 2
306, 29eqtrd 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322  c0 3630   class class class wbr 4214  cfv 5456  crio 6544  cbs 13471  cple 13538  cglb 14402  cp1 14469  cops 30032 This theorem is referenced by:  pmapglb2N  30630  pmapglb2xN  30631 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-lub 14433  df-glb 14434  df-p1 14471  df-oposet 30036
 Copyright terms: Public domain W3C validator