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Theorem glb0N 30005
Description: The greatest lower bound of the empty set is the unit element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glb0.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glb0.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
glb0N  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )

Proof of Theorem glb0N
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 3496 . . 3  |-  (/)  C_  ( Base `  K )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
4 glb0.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
52, 3, 4glbval 14134 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (/)  C_  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  (/) )  =  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) ) ) )
61, 5mpan2 652 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) ) ) )
7 glb0.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
82, 7op1cl 29997 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
9 ral0 3571 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y
109a1bi 327 . . . . . . 7  |-  ( z ( le `  K
) x  <->  ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) )
1110ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  A. z  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  -> 
z ( le `  K ) x ) )
12 ral0 3571 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y
1312biantrur 492 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x )  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
1411, 13bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
15 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  .1.  ( le `  K ) x ) )
1615rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  (  .1. 
e.  ( Base `  K
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
17163ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
182, 3, 7op1le 30004 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
(  .1.  ( le
`  K ) x  <-> 
x  =  .1.  )
)
19183adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  (  .1.  ( le `  K ) x  <->  x  =  .1.  ) )
2017, 19sylibd 205 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  ->  x  =  .1.  ) )
212, 3, 7ople1 30003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z ( le `  K )  .1.  )
22213ad2antl1 1117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  /\  z  e.  ( Base `  K
) )  ->  z
( le `  K
)  .1.  )
23 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  z ( le `  K )  .1.  ) )
2422, 23syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  /\  z  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
x  =  .1.  ->  z ( le `  K
) x ) )
2524ralrimdva 2646 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x  =  .1.  ->  A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x ) )
2620, 25impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  x  =  .1.  ) )
2714, 26syl5bbr 250 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) )  <->  x  =  .1.  ) )
2827riota5OLD 6347 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )  =  .1.  )
298, 28mpdan 649 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )  =  .1.  )
306, 29eqtrd 2328 1  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   glbcglb 14093   1.cp1 14160   OPcops 29984
This theorem is referenced by:  pmapglb2N  30582  pmapglb2xN  30583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-glb 14125  df-p1 14162  df-oposet 29988
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