Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  glb0N Structured version   Unicode version

Theorem glb0N 30053
Description: The greatest lower bound of the empty set is the unit element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glb0.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glb0.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
glb0N  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )

Proof of Theorem glb0N
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 3658 . . 3  |-  (/)  C_  ( Base `  K )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
4 glb0.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
52, 3, 4glbval 14443 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (/)  C_  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  (/) )  =  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) ) ) )
61, 5mpan2 654 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) ) ) )
7 glb0.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
82, 7op1cl 30045 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
9 ral0 3734 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y
109a1bi 329 . . . . . . 7  |-  ( z ( le `  K
) x  <->  ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) )
1110ralbii 2731 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  A. z  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  -> 
z ( le `  K ) x ) )
12 ral0 3734 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y
1312biantrur 494 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x )  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
1411, 13bitri 242 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
15 breq1 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  .1.  ( le `  K ) x ) )
1615rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  (  .1. 
e.  ( Base `  K
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
17163ad2ant2 980 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
182, 3, 7op1le 30052 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
(  .1.  ( le
`  K ) x  <-> 
x  =  .1.  )
)
19183adant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  (  .1.  ( le `  K ) x  <->  x  =  .1.  ) )
2017, 19sylibd 207 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  ->  x  =  .1.  ) )
212, 3, 7ople1 30051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z ( le `  K )  .1.  )
22213ad2antl1 1120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  /\  z  e.  ( Base `  K
) )  ->  z
( le `  K
)  .1.  )
23 breq2 4218 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  z ( le `  K )  .1.  ) )
2422, 23syl5ibrcom 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  /\  z  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
x  =  .1.  ->  z ( le `  K
) x ) )
2524ralrimdva 2798 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x  =  .1.  ->  A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x ) )
2620, 25impbid 185 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  x  =  .1.  ) )
2714, 26syl5bbr 252 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) )  <->  x  =  .1.  ) )
2827riota5OLD 6578 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )  =  .1.  )
298, 28mpdan 651 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )  =  .1.  )
306, 29eqtrd 2470 1  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   iota_crio 6544   Basecbs 13471   lecple 13538   glbcglb 14402   1.cp1 14469   OPcops 30032
This theorem is referenced by:  pmapglb2N  30630  pmapglb2xN  30631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-lub 14433  df-glb 14434  df-p1 14471  df-oposet 30036
  Copyright terms: Public domain W3C validator