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Theorem glbconN 30188
Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume  HL for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbcon.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
glbcon.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbcon.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
glbconN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  (  ._|_  `  ( U `  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, 
._|_    x, S
Allowed substitution hints:    U( x)    G( x)    K( x)

Proof of Theorem glbconN
Dummy variables  u  t  v  w  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfin5 3173 . . . 4  |-  ( B  i^i  S )  =  { x  e.  B  |  x  e.  S }
2 sseqin2 3401 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  <->  ( B  i^i  S )  =  S )
32biimpi 186 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  ( B  i^i  S )  =  S )
41, 3syl5reqr 2343 . . 3  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  { x  e.  B  |  x  e.  S } )
54fveq2d 5545 . 2  |-  ( S 
C_  B  ->  ( G `  S )  =  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } ) )
6 ssrab2 3271 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  x  e.  S }  C_  B
7 glbcon.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
9 glbcon.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
107, 8, 9glbval 14134 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { x  e.  B  |  x  e.  S }  C_  B )  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  =  ( iota_ y  e.  B
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le
`  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) y ) ) ) )
116, 10mpan2 652 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  =  ( iota_ y  e.  B
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le
`  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) y ) ) ) )
12 hlop 30174 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
13 hlclat 30170 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
147, 9clatglbcl 14234 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
x  e.  B  |  x  e.  S }  C_  B )  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  e.  B )
1513, 6, 14sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  e.  B )
1611, 15eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( iota_ y  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )  e.  B
)
17 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
187, 17eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1918riotaclb 6361 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) )  <->  ( iota_ y  e.  B ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le
`  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) y ) ) )  e.  B )
2016, 19sylibr 203 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  E! y  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )
21 glbcon.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
22 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( y
( le `  K
) z  <->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z ) )
2322ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le `  K ) z  <->  A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) z ) )
24 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( w
( le `  K
) y  <->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) ) )
2524imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y )  <->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) ) ) )
2625ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y )  <->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) )
2723, 26anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) )  <->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) ) ) ) )
287, 21, 27riotaocN 30021 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  E! y  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )  ->  ( iota_ y  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) ) ) )
2912, 20, 28syl2anc 642 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  ( iota_ y  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) ) ) )
3012ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
317, 21opoccl 30006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  u  e.  B )  ->  (  ._|_  `  u )  e.  B )
3230, 31sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  u )  e.  B
)
3312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
347, 21opoccl 30006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OP  /\  z  e.  B )  ->  (  ._|_  `  z )  e.  B )
3533, 34sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  z )  e.  B
)
367, 21opococ 30007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OP  /\  z  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) )  =  z )
3733, 36sylancom 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) )  =  z )
3837eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  z  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) ) )
39 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  (  ._|_  `  z
)  ->  (  ._|_  `  u )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  z
) ) )
4039eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  (  ._|_  `  z
)  ->  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  <->  z  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  z
) ) ) )
4140rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  ._|_  `  z )  e.  B  /\  z  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) ) )  ->  E. u  e.  B  z  =  (  ._|_  `  u )
)
4235, 38, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  E. u  e.  B  z  =  (  ._|_  `  u )
)
43 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( z  e.  S  <->  (  ._|_  `  u
)  e.  S ) )
44 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( (  ._|_  `  v ) ( le `  K ) z  <->  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) (  ._|_  `  u ) ) )
4543, 44imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( (
z  e.  S  -> 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) z )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
4645adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  =  ( 
._|_  `  u ) )  ->  ( ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le `  K ) z )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
4732, 42, 46ralxfrd 4564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  -> 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) ) )
48 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  u  e.  B )
49 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  v  e.  B )
507, 8, 21oplecon3b 30012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OP  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u ( le
`  K ) v  <-> 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) )
5130, 48, 49, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  ( u
( le `  K
) v  <->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) )
5251imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  ( (
(  ._|_  `  u )  e.  S  ->  u ( le `  K ) v )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
5352ralbidva 2572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  u ( le `  K ) v )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  -> 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) ) )
5447, 53bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  ->  u ( le `  K ) v ) ) )
55 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  S  <->  z  e.  S ) )
5655ralrab 2940 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z  <->  A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le `  K
) z ) )
57 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  u ) )
5857eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
(  ._|_  `  x )  e.  S  <->  (  ._|_  `  u
)  e.  S ) )
5958ralrab 2940 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) v  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  ->  u ( le `  K ) v ) )
6054, 56, 593bitr4g 279 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  <->  A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) v ) )
6112ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
627, 21opoccl 30006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  t  e.  B )  ->  (  ._|_  `  t )  e.  B )
6361, 62sylancom 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  t )  e.  B
)
6412ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
657, 21opoccl 30006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  w  e.  B )  ->  (  ._|_  `  w )  e.  B )
6664, 65sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  w )  e.  B
)
677, 21opococ 30007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OP  /\  w  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w ) )  =  w )
6864, 67sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w ) )  =  w )
6968eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  w  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w ) ) )
70 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  (  ._|_  `  w
)  ->  (  ._|_  `  t )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  w
) ) )
7170eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  (  ._|_  `  w
)  ->  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  <->  w  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w
) ) ) )
7271rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  ._|_  `  w )  e.  B  /\  w  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w ) ) )  ->  E. t  e.  B  w  =  (  ._|_  `  t )
)
7366, 69, 72syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  E. t  e.  B  w  =  (  ._|_  `  t )
)
74 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  ->  ( w
( le `  K
) z  <->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) z ) )
7574ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  ->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  <->  A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z ) )
76 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  ->  ( w
( le `  K
) (  ._|_  `  v
)  <->  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) )
7775, 76imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) )  <-> 
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) z  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  v
) ) ) )
7877adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  =  ( 
._|_  `  t ) )  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) )  <-> 
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) z  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  v
) ) ) )
7963, 73, 78ralxfrd 4564 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) )  <->  A. t  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z  ->  (  ._|_  `  t ) ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) )
8012ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  K  e.  OP )
81 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  u  e.  B )
82 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  t  e.  B )
837, 8, 21oplecon3b 30012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  u  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( u ( le
`  K ) t  <-> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( le `  K ) t  <->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) )
8584imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( (  ._|_  `  u
)  e.  S  ->  u ( le `  K ) t )  <-> 
( (  ._|_  `  u
)  e.  S  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) ) )
8685ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
(  ._|_  `  u )  e.  S  ->  u ( le `  K ) t )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
8780, 31sylancom 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (  ._|_  `  u )  e.  B )
8812ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  OP )
8988, 34sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  (  ._|_  `  z )  e.  B )
9088, 36sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z
) )  =  z )
9190eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  z  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) ) )
9289, 91, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  E. u  e.  B  z  =  (  ._|_  `  u )
)
93 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( (  ._|_  `  t ) ( le `  K ) z  <->  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) (  ._|_  `  u ) ) )
9443, 93imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( (
z  e.  S  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
9594adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  =  (  ._|_  `  u
) )  ->  (
( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le `  K
) z )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
9687, 92, 95ralxfrd 4564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( A. z  e.  B  (
z  e.  S  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
9786, 96bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
(  ._|_  `  u )  e.  S  ->  u ( le `  K ) t )  <->  A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) z ) ) )
9858ralrab 2940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  ->  u ( le `  K ) t ) )
9955ralrab 2940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) z  <->  A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le `  K
) z ) )
10097, 98, 993bitr4g 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  <->  A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z ) )
101 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  v  e.  B )
102 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  t  e.  B )
1037, 8, 21oplecon3b 30012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  v  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( v ( le
`  K ) t  <-> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  v
) ) )
10461, 101, 102, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( v
( le `  K
) t  <->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) ) )
105100, 104imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t )  <->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) z  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  v
) ) ) )
106105ralbidva 2572 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. t  e.  B  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) t  -> 
v ( le `  K ) t )  <->  A. t  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z  ->  (  ._|_  `  t ) ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) )
10779, 106bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) )  <->  A. t  e.  B  ( A. u  e.  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) )
10860, 107anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) )  <-> 
( A. u  e. 
{ x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) v  /\  A. t  e.  B  ( A. u  e.  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) ) )
109108riotabidva 6337 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) ) ) )  =  (
iota_ v  e.  B
( A. u  e. 
{ x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) v  /\  A. t  e.  B  ( A. u  e.  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) ) )
110 ssrab2 3271 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S }  C_  B
111 glbcon.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( lub `  K
)
1127, 8, 111lubval 14129 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S }  C_  B
)  ->  ( U `  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
)  =  ( iota_ v  e.  B ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) v  /\  A. t  e.  B  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) ) )
113110, 112mpan2 652 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( U `  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } )  =  ( iota_ v  e.  B
( A. u  e. 
{ x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) v  /\  A. t  e.  B  ( A. u  e.  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) ) )
114109, 113eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) ) ) )  =  ( U `  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } ) )
115114fveq2d 5545 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
) ) )
11611, 29, 1153eqtrd 2332 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } ) ) )
1175, 116sylan9eqr 2350 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  (  ._|_  `  ( U `  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   occoc 13232   lubclub 14092   glbcglb 14093   CLatccla 14229   OPcops 29984   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  glbconxN  30189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-undef 6314  df-riota 6320  df-lub 14124  df-glb 14125  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-hlat 30163
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