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Theorem glbconN 30236
 Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b
glbcon.u
glbcon.g
glbcon.o
Assertion
Ref Expression
glbconN
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem glbconN
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfin5 3330 . . . 4
2 sseqin2 3562 . . . . 5
32biimpi 188 . . . 4
41, 3syl5reqr 2485 . . 3
54fveq2d 5734 . 2
6 ssrab2 3430 . . . 4
7 glbcon.b . . . . 5
8 eqid 2438 . . . . 5
9 glbcon.g . . . . 5
107, 8, 9glbval 14443 . . . 4
116, 10mpan2 654 . . 3
12 hlop 30222 . . . 4
13 hlclat 30218 . . . . . . 7
147, 9clatglbcl 14543 . . . . . . 7
1513, 6, 14sylancl 645 . . . . . 6
1611, 15eqeltrrd 2513 . . . . 5
17 fvex 5744 . . . . . . 7
187, 17eqeltri 2508 . . . . . 6
1918riotaclb 6592 . . . . 5
2016, 19sylibr 205 . . . 4
21 glbcon.o . . . . 5
22 breq1 4217 . . . . . . 7
2322ralbidv 2727 . . . . . 6
24 breq2 4218 . . . . . . . 8
2524imbi2d 309 . . . . . . 7
2625ralbidv 2727 . . . . . 6
2723, 26anbi12d 693 . . . . 5
287, 21, 27riotaocN 30069 . . . 4
2912, 20, 28syl2anc 644 . . 3
3012ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
317, 21opoccl 30054 . . . . . . . . . . 11
3230, 31sylancom 650 . . . . . . . . . 10
3312ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
347, 21opoccl 30054 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34sylancom 650 . . . . . . . . . . 11
367, 21opococ 30055 . . . . . . . . . . . . 13
3733, 36sylancom 650 . . . . . . . . . . . 12
3837eqcomd 2443 . . . . . . . . . . 11
39 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13
4039eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12
4140rspcev 3054 . . . . . . . . . . 11
4235, 38, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
43 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12
44 breq2 4218 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11
4645adantl 454 . . . . . . . . . 10
4732, 42, 46ralxfrd 4739 . . . . . . . . 9
48 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
49 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12
507, 8, 21oplecon3b 30060 . . . . . . . . . . . 12
5130, 48, 49, 50syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
5251imbi2d 309 . . . . . . . . . 10
5352ralbidva 2723 . . . . . . . . 9
5447, 53bitr4d 249 . . . . . . . 8
55 eleq1 2498 . . . . . . . . 9
5655ralrab 3098 . . . . . . . 8
57 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
5857eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
5958ralrab 3098 . . . . . . . 8
6054, 56, 593bitr4g 281 . . . . . . 7
6112ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
627, 21opoccl 30054 . . . . . . . . . 10
6361, 62sylancom 650 . . . . . . . . 9
6412ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
657, 21opoccl 30054 . . . . . . . . . . 11
6664, 65sylancom 650 . . . . . . . . . 10
677, 21opococ 30055 . . . . . . . . . . . 12
6864, 67sylancom 650 . . . . . . . . . . 11
6968eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10
70 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
7170eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11
7271rspcev 3054 . . . . . . . . . 10
7366, 69, 72syl2anc 644 . . . . . . . . 9
74 breq1 4217 . . . . . . . . . . . 12
7574ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11
76 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11
7775, 76imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
7877adantl 454 . . . . . . . . 9
7963, 73, 78ralxfrd 4739 . . . . . . . 8
8012ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
837, 8, 21oplecon3b 30060 . . . . . . . . . . . . . . 15
8480, 81, 82, 83syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
8584imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13
8685ralbidva 2723 . . . . . . . . . . . 12
8780, 31sylancom 650 . . . . . . . . . . . . 13
8812ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988, 34sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 36sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . 14
9289, 91, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
93 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15
9443, 93imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14
9594adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
9687, 92, 95ralxfrd 4739 . . . . . . . . . . . 12
9786, 96bitr4d 249 . . . . . . . . . . 11
9858ralrab 3098 . . . . . . . . . . 11
9955ralrab 3098 . . . . . . . . . . 11
10097, 98, 993bitr4g 281 . . . . . . . . . 10
101 simplr 733 . . . . . . . . . . 11
102 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
1037, 8, 21oplecon3b 30060 . . . . . . . . . . 11
10461, 101, 102, 103syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
105100, 104imbi12d 313 . . . . . . . . 9
106105ralbidva 2723 . . . . . . . 8
10779, 106bitr4d 249 . . . . . . 7
10860, 107anbi12d 693 . . . . . 6
109108riotabidva 6568 . . . . 5
110 ssrab2 3430 . . . . . 6
111 glbcon.u . . . . . . 7
1127, 8, 111lubval 14438 . . . . . 6
113110, 112mpan2 654 . . . . 5
114109, 113eqtr4d 2473 . . . 4
115114fveq2d 5734 . . 3
11611, 29, 1153eqtrd 2474 . 2
1175, 116sylan9eqr 2492 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  wreu 2709  crab 2711  cvv 2958   cin 3321   wss 3322   class class class wbr 4214  cfv 5456  crio 6544  cbs 13471  cple 13538  coc 13539  club 14401  cglb 14402  ccla 14538  cops 30032  chlt 30210 This theorem is referenced by:  glbconxN  30237 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-undef 6545  df-riota 6551  df-lub 14433  df-glb 14434  df-clat 14539  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-hlat 30211
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