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Theorem glbconN 30236
Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume  HL for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbcon.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
glbcon.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbcon.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
glbconN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  (  ._|_  `  ( U `  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, 
._|_    x, S
Allowed substitution hints:    U( x)    G( x)    K( x)

Proof of Theorem glbconN
Dummy variables  u  t  v  w  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfin5 3330 . . . 4  |-  ( B  i^i  S )  =  { x  e.  B  |  x  e.  S }
2 sseqin2 3562 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  <->  ( B  i^i  S )  =  S )
32biimpi 188 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  ( B  i^i  S )  =  S )
41, 3syl5reqr 2485 . . 3  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  { x  e.  B  |  x  e.  S } )
54fveq2d 5734 . 2  |-  ( S 
C_  B  ->  ( G `  S )  =  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } ) )
6 ssrab2 3430 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  x  e.  S }  C_  B
7 glbcon.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
9 glbcon.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
107, 8, 9glbval 14443 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { x  e.  B  |  x  e.  S }  C_  B )  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  =  ( iota_ y  e.  B
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le
`  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) y ) ) ) )
116, 10mpan2 654 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  =  ( iota_ y  e.  B
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le
`  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) y ) ) ) )
12 hlop 30222 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
13 hlclat 30218 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
147, 9clatglbcl 14543 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
x  e.  B  |  x  e.  S }  C_  B )  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  e.  B )
1513, 6, 14sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  e.  B )
1611, 15eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( iota_ y  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )  e.  B
)
17 fvex 5744 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
187, 17eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1918riotaclb 6592 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) )  <->  ( iota_ y  e.  B ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le
`  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) y ) ) )  e.  B )
2016, 19sylibr 205 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  E! y  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )
21 glbcon.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
22 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( y
( le `  K
) z  <->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z ) )
2322ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le `  K ) z  <->  A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) z ) )
24 breq2 4218 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( w
( le `  K
) y  <->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) ) )
2524imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y )  <->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) ) ) )
2625ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y )  <->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) )
2723, 26anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( y  =  (  ._|_  `  v
)  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) )  <->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) ) ) ) )
287, 21, 27riotaocN 30069 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  E! y  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )  ->  ( iota_ y  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) ) ) )
2912, 20, 28syl2anc 644 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  ( iota_ y  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
y ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) y ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) ) ) )
3012ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
317, 21opoccl 30054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  u  e.  B )  ->  (  ._|_  `  u )  e.  B )
3230, 31sylancom 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  u )  e.  B
)
3312ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
347, 21opoccl 30054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OP  /\  z  e.  B )  ->  (  ._|_  `  z )  e.  B )
3533, 34sylancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  z )  e.  B
)
367, 21opococ 30055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OP  /\  z  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) )  =  z )
3733, 36sylancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) )  =  z )
3837eqcomd 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  z  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) ) )
39 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  (  ._|_  `  z
)  ->  (  ._|_  `  u )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  z
) ) )
4039eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  (  ._|_  `  z
)  ->  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  <->  z  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  z
) ) ) )
4140rspcev 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  ._|_  `  z )  e.  B  /\  z  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) ) )  ->  E. u  e.  B  z  =  (  ._|_  `  u )
)
4235, 38, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  E. u  e.  B  z  =  (  ._|_  `  u )
)
43 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( z  e.  S  <->  (  ._|_  `  u
)  e.  S ) )
44 breq2 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( (  ._|_  `  v ) ( le `  K ) z  <->  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) (  ._|_  `  u ) ) )
4543, 44imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( (
z  e.  S  -> 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) z )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
4645adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  z  =  ( 
._|_  `  u ) )  ->  ( ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le `  K ) z )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
4732, 42, 46ralxfrd 4739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  -> 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) ) )
48 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  u  e.  B )
49 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  v  e.  B )
507, 8, 21oplecon3b 30060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OP  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u ( le
`  K ) v  <-> 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) )
5130, 48, 49, 50syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  ( u
( le `  K
) v  <->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) )
5251imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  u  e.  B
)  ->  ( (
(  ._|_  `  u )  e.  S  ->  u ( le `  K ) v )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
5352ralbidva 2723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  u ( le `  K ) v )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  -> 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) ) )
5447, 53bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  ->  u ( le `  K ) v ) ) )
55 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  S  <->  z  e.  S ) )
5655ralrab 3098 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v ) ( le
`  K ) z  <->  A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  v ) ( le `  K
) z ) )
57 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  u ) )
5857eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
(  ._|_  `  x )  e.  S  <->  (  ._|_  `  u
)  e.  S ) )
5958ralrab 3098 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) v  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  ->  u ( le `  K ) v ) )
6054, 56, 593bitr4g 281 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  <->  A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) v ) )
6112ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
627, 21opoccl 30054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  t  e.  B )  ->  (  ._|_  `  t )  e.  B )
6361, 62sylancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  t )  e.  B
)
6412ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
657, 21opoccl 30054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  w  e.  B )  ->  (  ._|_  `  w )  e.  B )
6664, 65sylancom 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  w )  e.  B
)
677, 21opococ 30055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OP  /\  w  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w ) )  =  w )
6864, 67sylancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w ) )  =  w )
6968eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  w  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w ) ) )
70 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  (  ._|_  `  w
)  ->  (  ._|_  `  t )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  w
) ) )
7170eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  (  ._|_  `  w
)  ->  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  <->  w  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w
) ) ) )
7271rspcev 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  ._|_  `  w )  e.  B  /\  w  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  w ) ) )  ->  E. t  e.  B  w  =  (  ._|_  `  t )
)
7366, 69, 72syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  e.  B
)  ->  E. t  e.  B  w  =  (  ._|_  `  t )
)
74 breq1 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  ->  ( w
( le `  K
) z  <->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) z ) )
7574ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  ->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  <->  A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z ) )
76 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  ->  ( w
( le `  K
) (  ._|_  `  v
)  <->  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) )
7775, 76imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (  ._|_  `  t
)  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) )  <-> 
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) z  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  v
) ) ) )
7877adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  w  =  ( 
._|_  `  t ) )  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) )  <-> 
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) z  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  v
) ) ) )
7963, 73, 78ralxfrd 4739 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) )  <->  A. t  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z  ->  (  ._|_  `  t ) ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) )
8012ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  K  e.  OP )
81 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  u  e.  B )
82 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  t  e.  B )
837, 8, 21oplecon3b 30060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  u  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( u ( le
`  K ) t  <-> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( le `  K ) t  <->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) )
8584imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( (  ._|_  `  u
)  e.  S  ->  u ( le `  K ) t )  <-> 
( (  ._|_  `  u
)  e.  S  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  u
) ) ) )
8685ralbidva 2723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
(  ._|_  `  u )  e.  S  ->  u ( le `  K ) t )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
8780, 31sylancom 650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (  ._|_  `  u )  e.  B )
8812ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  OP )
8988, 34sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  (  ._|_  `  z )  e.  B )
9088, 36sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z
) )  =  z )
9190eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  z  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  z ) ) )
9289, 91, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  e.  B )  ->  E. u  e.  B  z  =  (  ._|_  `  u )
)
93 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( (  ._|_  `  t ) ( le `  K ) z  <->  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) (  ._|_  `  u ) ) )
9443, 93imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  (  ._|_  `  u
)  ->  ( (
z  e.  S  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
9594adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B )  /\  z  =  (  ._|_  `  u
) )  ->  (
( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le `  K
) z )  <->  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
9687, 92, 95ralxfrd 4739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( A. z  e.  B  (
z  e.  S  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z )  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u )  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  u ) ) ) )
9786, 96bitr4d 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
(  ._|_  `  u )  e.  S  ->  u ( le `  K ) t )  <->  A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) z ) ) )
9858ralrab 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  <->  A. u  e.  B  ( (  ._|_  `  u
)  e.  S  ->  u ( le `  K ) t ) )
9955ralrab 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) z  <->  A. z  e.  B  ( z  e.  S  ->  (  ._|_  `  t ) ( le `  K
) z ) )
10097, 98, 993bitr4g 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  <->  A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z ) )
101 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  v  e.  B )
102 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  t  e.  B )
1037, 8, 21oplecon3b 30060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  v  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( v ( le
`  K ) t  <-> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  v
) ) )
10461, 101, 102, 103syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( v
( le `  K
) t  <->  (  ._|_  `  t ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) ) )
105100, 104imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  /\  t  e.  B
)  ->  ( ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t )  <->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  t
) ( le `  K ) z  -> 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) (  ._|_  `  v
) ) ) )
106105ralbidva 2723 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. t  e.  B  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) t  -> 
v ( le `  K ) t )  <->  A. t  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  t )
( le `  K
) z  ->  (  ._|_  `  t ) ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) )
10779, 106bitr4d 249 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le
`  K ) z  ->  w ( le
`  K ) ( 
._|_  `  v ) )  <->  A. t  e.  B  ( A. u  e.  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) )
10860, 107anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  v  e.  B )  ->  ( ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) )  <-> 
( A. u  e. 
{ x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) v  /\  A. t  e.  B  ( A. u  e.  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) ) )
109108riotabidva 6568 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) ) ) )  =  (
iota_ v  e.  B
( A. u  e. 
{ x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) v  /\  A. t  e.  B  ( A. u  e.  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) ) )
110 ssrab2 3430 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S }  C_  B
111 glbcon.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( lub `  K
)
1127, 8, 111lubval 14438 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S }  C_  B
)  ->  ( U `  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
)  =  ( iota_ v  e.  B ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) v  /\  A. t  e.  B  ( A. u  e.  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) ) )
113110, 112mpan2 654 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( U `  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } )  =  ( iota_ v  e.  B
( A. u  e. 
{ x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
u ( le `  K ) v  /\  A. t  e.  B  ( A. u  e.  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } u ( le `  K ) t  ->  v ( le `  K ) t ) ) ) )
114109, 113eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S } 
(  ._|_  `  v )
( le `  K
) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S } w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) ( 
._|_  `  v ) ) ) )  =  ( U `  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } ) )
115114fveq2d 5734 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  ( iota_ v  e.  B ( A. z  e.  { x  e.  B  |  x  e.  S }  (  ._|_  `  v
) ( le `  K ) z  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  {
x  e.  B  |  x  e.  S }
w ( le `  K ) z  ->  w ( le `  K ) (  ._|_  `  v ) ) ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x
)  e.  S }
) ) )
11611, 29, 1153eqtrd 2474 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  ( G `  { x  e.  B  |  x  e.  S } )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { x  e.  B  |  (  ._|_  `  x )  e.  S } ) ) )
1175, 116sylan9eqr 2492 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  (  ._|_  `  ( U `  {
x  e.  B  | 
(  ._|_  `  x )  e.  S } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   {crab 2711   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   iota_crio 6544   Basecbs 13471   lecple 13538   occoc 13539   lubclub 14401   glbcglb 14402   CLatccla 14538   OPcops 30032   HLchlt 30210
This theorem is referenced by:  glbconxN  30237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-undef 6545  df-riota 6551  df-lub 14433  df-glb 14434  df-clat 14539  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-hlat 30211
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