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Theorem glbconxN 30189
Description: De Morgan's law for GLB and LUB. Index-set version of glbconN 30188, where we read  S as  S (
i ). (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbcon.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
glbcon.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbcon.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
glbconxN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, 
._|_    x, S    B, i    x, I    i, K    ._|_ , i, x
Allowed substitution hints:    S( i)    U( x, i)    G( x, i)    I( i)    K( x)

Proof of Theorem glbconxN
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2 eqeq1 2302 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  S  <->  y  =  S ) )
32rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  I  x  =  S  <->  E. i  e.  I  y  =  S ) )
41, 3elab 2927 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  y  =  S )
5 nfra1 2606 . . . . . 6  |-  F/ i A. i  e.  I  S  e.  B
6 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ i  y  e.  B
7 rsp 2616 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  S  e.  B ) )
8 eleq1a 2365 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  B  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) )
97, 8syl6 29 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) ) )
105, 6, 9rexlimd 2677 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B ) )
114, 10syl5bi 208 . . . 4  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  ->  y  e.  B ) )
1211ssrdv 3198 . . 3  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  C_  B )
13 glbcon.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
14 glbcon.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
15 glbcon.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
16 glbcon.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1713, 14, 15, 16glbconN 30188 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  C_  B )  ->  ( G `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y )  e.  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) ) )
1812, 17sylan2 460 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) ) )
19 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  (  ._|_  `  y )  e.  _V
20 eqeq1 2302 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( x  =  S  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S ) )
2120rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( E. i  e.  I  x  =  S  <->  E. i  e.  I 
(  ._|_  `  y )  =  S ) )
2219, 21elab 2927 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S )
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
(  ._|_  `  y )  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) )
2423rabbiia 2791 . . . . . 6  |-  { y  e.  B  |  ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { y  e.  B  |  E. i  e.  I 
(  ._|_  `  y )  =  S }
25 df-rab 2565 . . . . . 6  |-  { y  e.  B  |  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S }  =  {
y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) }
2624, 25eqtri 2316 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }
27 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  K  e.  HL
2827, 5nfan 1783 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )
297imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
30 hlop 30174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
3113, 16opoccl 30006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  S  e.  B )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  B )
3230, 31sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  B )
33 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
._|_  `  S )  e.  B  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  ->  y  e.  B ) )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  -> 
y  e.  B ) )
3534pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =  (  ._|_  `  S
) ) ) )
36 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  (  ._|_  `  y
)  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S )
3713, 16opcon2b 30009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  S  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( S  =  ( 
._|_  `  y )  <->  y  =  (  ._|_  `  S )
) )
3830, 37syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( S  =  ( 
._|_  `  y )  <->  y  =  (  ._|_  `  S )
) )
39383expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( S  =  (  ._|_  `  y
)  <->  y  =  ( 
._|_  `  S ) ) )
4036, 39syl5rbbr 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S ) )
4140pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  y  =  (  ._|_  `  S ) )  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4235, 41bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4329, 42sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4443anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  i  e.  I
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4528, 44rexbida 2571 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( E. i  e.  I  y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  E. i  e.  I  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
46 r19.42v 2707 . . . . . . . 8  |-  ( E. i  e.  I  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S )  <->  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) )
4745, 46syl6rbb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S )  <->  E. i  e.  I 
y  =  (  ._|_  `  S ) ) )
4847abbidv 2410 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }  =  { y  |  E. i  e.  I  y  =  (  ._|_  `  S
) } )
49 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  (  ._|_  `  S )  <->  x  =  (  ._|_  `  S )
) )
5049rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( E. i  e.  I 
y  =  (  ._|_  `  S )  <->  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S )
) )
5150cbvabv 2415 . . . . . 6  |-  { y  |  E. i  e.  I  y  =  ( 
._|_  `  S ) }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) }
5248, 51syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } )
5326, 52syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) } )
5453fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( U `  {
y  e.  B  | 
(  ._|_  `  y )  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } )  =  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) )
5554fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
(  ._|_  `  ( U `  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) } ) ) )
5618, 55eqtrd 2328 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   ` cfv 5271   Basecbs 13164   occoc 13232   lubclub 14092   glbcglb 14093   OPcops 29984   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  polval2N  30717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-undef 6314  df-riota 6320  df-lub 14124  df-glb 14125  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-hlat 30163
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