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Theorem glbconxN 30112
Description: De Morgan's law for GLB and LUB. Index-set version of glbconN 30111, where we read  S as  S (
i ). (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbcon.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
glbcon.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbcon.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
glbconxN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, 
._|_    x, S    B, i    x, I    i, K    ._|_ , i, x
Allowed substitution hints:    S( i)    U( x, i)    G( x, i)    I( i)    K( x)

Proof of Theorem glbconxN
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2951 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2 eqeq1 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  S  <->  y  =  S ) )
32rexbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  I  x  =  S  <->  E. i  e.  I  y  =  S ) )
41, 3elab 3074 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  y  =  S )
5 nfra1 2748 . . . . . 6  |-  F/ i A. i  e.  I  S  e.  B
6 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ i  y  e.  B
7 rsp 2758 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  S  e.  B ) )
8 eleq1a 2504 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  B  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) )
97, 8syl6 31 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) ) )
105, 6, 9rexlimd 2819 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B ) )
114, 10syl5bi 209 . . . 4  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  ->  y  e.  B ) )
1211ssrdv 3346 . . 3  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  C_  B )
13 glbcon.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
14 glbcon.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
15 glbcon.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
16 glbcon.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1713, 14, 15, 16glbconN 30111 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  C_  B )  ->  ( G `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y )  e.  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) ) )
1812, 17sylan2 461 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) ) )
19 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  (  ._|_  `  y )  e.  _V
20 eqeq1 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( x  =  S  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S ) )
2120rexbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( E. i  e.  I  x  =  S  <->  E. i  e.  I 
(  ._|_  `  y )  =  S ) )
2219, 21elab 3074 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
(  ._|_  `  y )  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) )
2423rabbiia 2938 . . . . . 6  |-  { y  e.  B  |  ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { y  e.  B  |  E. i  e.  I 
(  ._|_  `  y )  =  S }
25 df-rab 2706 . . . . . 6  |-  { y  e.  B  |  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S }  =  {
y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) }
2624, 25eqtri 2455 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }
27 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  K  e.  HL
2827, 5nfan 1846 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )
297imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
30 hlop 30097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
3113, 16opoccl 29929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  S  e.  B )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  B )
3230, 31sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  B )
33 eleq1a 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
._|_  `  S )  e.  B  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  ->  y  e.  B ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  -> 
y  e.  B ) )
3534pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =  (  ._|_  `  S
) ) ) )
36 eqcom 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  (  ._|_  `  y
)  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S )
3713, 16opcon2b 29932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  S  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( S  =  ( 
._|_  `  y )  <->  y  =  (  ._|_  `  S )
) )
3830, 37syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( S  =  ( 
._|_  `  y )  <->  y  =  (  ._|_  `  S )
) )
39383expa 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( S  =  (  ._|_  `  y
)  <->  y  =  ( 
._|_  `  S ) ) )
4036, 39syl5rbbr 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S ) )
4140pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  y  =  (  ._|_  `  S ) )  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4235, 41bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4329, 42sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4443anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  i  e.  I
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4528, 44rexbida 2712 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( E. i  e.  I  y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  E. i  e.  I  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
46 r19.42v 2854 . . . . . . . 8  |-  ( E. i  e.  I  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S )  <->  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) )
4745, 46syl6rbb 254 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S )  <->  E. i  e.  I 
y  =  (  ._|_  `  S ) ) )
4847abbidv 2549 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }  =  { y  |  E. i  e.  I  y  =  (  ._|_  `  S
) } )
49 eqeq1 2441 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  (  ._|_  `  S )  <->  x  =  (  ._|_  `  S )
) )
5049rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( E. i  e.  I 
y  =  (  ._|_  `  S )  <->  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S )
) )
5150cbvabv 2554 . . . . . 6  |-  { y  |  E. i  e.  I  y  =  ( 
._|_  `  S ) }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) }
5248, 51syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } )
5326, 52syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) } )
5453fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( U `  {
y  e.  B  | 
(  ._|_  `  y )  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } )  =  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) )
5554fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
(  ._|_  `  ( U `  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) } ) ) )
5618, 55eqtrd 2467 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   ` cfv 5446   Basecbs 13461   occoc 13529   lubclub 14391   glbcglb 14392   OPcops 29907   HLchlt 30085
This theorem is referenced by:  polval2N  30640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-undef 6535  df-riota 6541  df-lub 14423  df-glb 14424  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-hlat 30086
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