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Theorem glbconxN 29567
Description: DeMorgan's law for GLB and LUB. Index-set version of glbconN 29566, where we read  S as  S (
i ). (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbcon.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
glbcon.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbcon.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
glbconxN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, 
._|_    x, S    B, i    x, I    i, K    ._|_ , i, x
Allowed substitution hints:    S( i)    U( x, i)    G( x, i)    I( i)    K( x)

Proof of Theorem glbconxN
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2 eqeq1 2289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  S  <->  y  =  S ) )
32rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  I  x  =  S  <->  E. i  e.  I  y  =  S ) )
41, 3elab 2914 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  y  =  S )
5 nfra1 2593 . . . . . 6  |-  F/ i A. i  e.  I  S  e.  B
6 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ i  y  e.  B
7 rsp 2603 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  S  e.  B ) )
8 eleq1a 2352 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  B  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) )
97, 8syl6 29 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) ) )
105, 6, 9rexlimd 2664 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B ) )
114, 10syl5bi 208 . . . 4  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  ->  y  e.  B ) )
1211ssrdv 3185 . . 3  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  C_  B )
13 glbcon.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
14 glbcon.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
15 glbcon.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
16 glbcon.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1713, 14, 15, 16glbconN 29566 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  C_  B )  ->  ( G `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y )  e.  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) ) )
1812, 17sylan2 460 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) ) )
19 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  (  ._|_  `  y )  e.  _V
20 eqeq1 2289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( x  =  S  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S ) )
2120rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( E. i  e.  I  x  =  S  <->  E. i  e.  I 
(  ._|_  `  y )  =  S ) )
2219, 21elab 2914 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S )
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
(  ._|_  `  y )  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) )
2423rabbiia 2778 . . . . . 6  |-  { y  e.  B  |  ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { y  e.  B  |  E. i  e.  I 
(  ._|_  `  y )  =  S }
25 df-rab 2552 . . . . . 6  |-  { y  e.  B  |  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S }  =  {
y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) }
2624, 25eqtri 2303 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }
27 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  K  e.  HL
2827, 5nfan 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )
297imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
30 hlop 29552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
3113, 16opoccl 29384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  S  e.  B )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  B )
3230, 31sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  B )
33 eleq1a 2352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
._|_  `  S )  e.  B  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  ->  y  e.  B ) )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  -> 
y  e.  B ) )
3534pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =  (  ._|_  `  S
) ) ) )
36 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  (  ._|_  `  y
)  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S )
3713, 16opcon2b 29387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  S  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( S  =  ( 
._|_  `  y )  <->  y  =  (  ._|_  `  S )
) )
3830, 37syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( S  =  ( 
._|_  `  y )  <->  y  =  (  ._|_  `  S )
) )
39383expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( S  =  (  ._|_  `  y
)  <->  y  =  ( 
._|_  `  S ) ) )
4036, 39syl5rbbr 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S ) )
4140pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  y  =  (  ._|_  `  S ) )  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4235, 41bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4329, 42sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4443anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  i  e.  I
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4528, 44rexbida 2558 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( E. i  e.  I  y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  E. i  e.  I  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
46 r19.42v 2694 . . . . . . . 8  |-  ( E. i  e.  I  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S )  <->  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) )
4745, 46syl6rbb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S )  <->  E. i  e.  I 
y  =  (  ._|_  `  S ) ) )
4847abbidv 2397 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }  =  { y  |  E. i  e.  I  y  =  (  ._|_  `  S
) } )
49 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  (  ._|_  `  S )  <->  x  =  (  ._|_  `  S )
) )
5049rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( E. i  e.  I 
y  =  (  ._|_  `  S )  <->  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S )
) )
5150cbvabv 2402 . . . . . 6  |-  { y  |  E. i  e.  I  y  =  ( 
._|_  `  S ) }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) }
5248, 51syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } )
5326, 52syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) } )
5453fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( U `  {
y  e.  B  | 
(  ._|_  `  y )  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } )  =  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) )
5554fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
(  ._|_  `  ( U `  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) } ) ) )
5618, 55eqtrd 2315 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   ` cfv 5255   Basecbs 13148   occoc 13216   lubclub 14076   glbcglb 14077   OPcops 29362   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  polval2N  30095
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-undef 6298  df-riota 6304  df-lub 14108  df-glb 14109  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-hlat 29541
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