Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbfval Structured version   Unicode version

Theorem glbfval 14442
 Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b
glbfval.l
glbfval.g
Assertion
Ref Expression
glbfval
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem glbfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . 2
2 glbfval.g . . 3
3 fveq2 5730 . . . . . . 7
4 glbfval.b . . . . . . 7
53, 4syl6eqr 2488 . . . . . 6
65pweqd 3806 . . . . 5
7 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
8 glbfval.l . . . . . . . . . 10
97, 8syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9
109breqd 4225 . . . . . . . 8
1110ralbidv 2727 . . . . . . 7
129breqd 4225 . . . . . . . . . 10
1312ralbidv 2727 . . . . . . . . 9
149breqd 4225 . . . . . . . . 9
1513, 14imbi12d 313 . . . . . . . 8
165, 15raleqbidv 2918 . . . . . . 7
1711, 16anbi12d 693 . . . . . 6
185, 17riotaeqbidv 6554 . . . . 5
196, 18mpteq12dv 4289 . . . 4
20 df-glb 14434 . . . 4
21 fvex 5744 . . . . . . 7
224, 21eqeltri 2508 . . . . . 6
2322pwex 4384 . . . . 5
2423mptex 5968 . . . 4
2519, 20, 24fvmpt 5808 . . 3
262, 25syl5eq 2482 . 2
271, 26syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  cpw 3801   class class class wbr 4214   cmpt 4268  cfv 5456  crio 6544  cbs 13471  cple 13538  cglb 14402 This theorem is referenced by:  glbval  14443  oduglb  14568  odulub  14570 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-riota 6551  df-glb 14434
 Copyright terms: Public domain W3C validator