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Theorem glbfval 14442
Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbfval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbfval  |-  ( K  e.  A  ->  G  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, s)    B( y)    G( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)

Proof of Theorem glbfval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  K  e.  _V )
2 glbfval.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
3 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  ( Base `  K
) )
4 glbfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  B )
65pweqd 3806 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ~P ( Base `  k )  =  ~P B )
7 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
8 glbfval.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
97, 8syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
109breqd 4225 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
x ( le `  k ) y  <->  x  .<_  y ) )
1110ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  s  x ( le `  k ) y  <->  A. y  e.  s  x  .<_  y ) )
129breqd 4225 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
z ( le `  k ) y  <->  z  .<_  y ) )
1312ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
z ( le `  k ) y  <->  A. y  e.  s  z  .<_  y ) )
149breqd 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
z ( le `  k ) x  <->  z  .<_  x ) )
1513, 14imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  z ( le
`  k ) y  ->  z ( le
`  k ) x )  <->  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
165, 15raleqbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. z  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  z ( le `  k ) y  -> 
z ( le `  k ) x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
1711, 16anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  x ( le
`  k ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  k
) ( A. y  e.  s  z ( le `  k ) y  ->  z ( le
`  k ) x ) )  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
185, 17riotaeqbidv 6554 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  x
( le `  k
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  z
( le `  k
) y  ->  z
( le `  k
) x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
196, 18mpteq12dv 4289 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  k )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  x ( le `  k ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  z
( le `  k
) y  ->  z
( le `  k
) x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) )
20 df-glb 14434 . . . 4  |-  glb  =  ( k  e.  _V  |->  ( s  e.  ~P ( Base `  k )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  k )
( A. y  e.  s  x ( le
`  k ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  k
) ( A. y  e.  s  z ( le `  k ) y  ->  z ( le
`  k ) x ) ) ) ) )
21 fvex 5744 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
224, 21eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322pwex 4384 . . . . 5  |-  ~P B  e.  _V
2423mptex 5968 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  e.  _V
2519, 20, 24fvmpt 5808 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( glb `  K )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
262, 25syl5eq 2482 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  G  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
271, 26syl 16 1  |-  ( K  e.  A  ->  G  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456   iota_crio 6544   Basecbs 13471   lecple 13538   glbcglb 14402
This theorem is referenced by:  glbval  14443  oduglb  14568  odulub  14570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-riota 6551  df-glb 14434
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