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Theorem glbfval 14117
Description: Value of least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbfval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbfval  |-  ( K  e.  A  ->  G  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, s)    B( y)    G( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)

Proof of Theorem glbfval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  K  e.  _V )
2 glbfval.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
3 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  ( Base `  K
) )
4 glbfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  B )
65pweqd 3630 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ~P ( Base `  k )  =  ~P B )
7 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
8 glbfval.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
97, 8syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
109breqd 4034 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
x ( le `  k ) y  <->  x  .<_  y ) )
1110ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  s  x ( le `  k ) y  <->  A. y  e.  s  x  .<_  y ) )
129breqd 4034 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
z ( le `  k ) y  <->  z  .<_  y ) )
1312ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
z ( le `  k ) y  <->  A. y  e.  s  z  .<_  y ) )
149breqd 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
z ( le `  k ) x  <->  z  .<_  x ) )
1513, 14imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  z ( le
`  k ) y  ->  z ( le
`  k ) x )  <->  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
165, 15raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. z  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  z ( le `  k ) y  -> 
z ( le `  k ) x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
1711, 16anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  x ( le
`  k ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  k
) ( A. y  e.  s  z ( le `  k ) y  ->  z ( le
`  k ) x ) )  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
185, 17riotaeqbidv 6307 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  x
( le `  k
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  z
( le `  k
) y  ->  z
( le `  k
) x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
196, 18mpteq12dv 4098 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  k )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  x ( le `  k ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  k ) ( A. y  e.  s  z
( le `  k
) y  ->  z
( le `  k
) x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) )
20 df-glb 14109 . . . 4  |-  glb  =  ( k  e.  _V  |->  ( s  e.  ~P ( Base `  k )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  k )
( A. y  e.  s  x ( le
`  k ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  k
) ( A. y  e.  s  z ( le `  k ) y  ->  z ( le
`  k ) x ) ) ) ) )
21 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
224, 21eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322pwex 4193 . . . . 5  |-  ~P B  e.  _V
2423mptex 5746 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  e.  _V
2519, 20, 24fvmpt 5602 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( glb `  K )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
262, 25syl5eq 2327 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  G  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
271, 26syl 15 1  |-  ( K  e.  A  ->  G  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255   iota_crio 6297   Basecbs 13148   lecple 13215   glbcglb 14077
This theorem is referenced by:  glbval  14118  oduglb  14243  odulub  14245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 6304  df-glb 14109
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