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Theorem glbprop 14119
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbprop  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y, G, z
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y)    .<_ ( y, z)

Proof of Theorem glbprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3glbval 14118 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
543adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( G `  S )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
65eqcomd 2288 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( G `  S ) )
7 simp3 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
85, 7eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B )
9 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
101, 9eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1110riotaclb 6345 . . . 4  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B )
128, 11sylibr 203 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
13 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( G `  S )  .<_  y ) )
1413ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y ) )
15 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  ( G `  S ) ) )
1615imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
1716ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
1814, 17anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) ) )
1918riota2 6327 . . 3  |-  ( ( ( G `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( G `  S
) ) )
207, 12, 19syl2anc 642 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  (
( A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S
) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( G `  S
) ) )
216, 20mpbird 223 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E!wreu 2545   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   iota_crio 6297   Basecbs 13148   lecple 13215   glbcglb 14077
This theorem is referenced by:  glble  14120  clatglb  14228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-undef 6298  df-riota 6304  df-glb 14109
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