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Theorem glbprop 14369
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbprop  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y, G, z
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y)    .<_ ( y, z)

Proof of Theorem glbprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3glbval 14368 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
543adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( G `  S )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
65eqcomd 2392 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( G `  S ) )
7 simp3 959 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
85, 7eqeltrrd 2462 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B )
9 fvex 5682 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
101, 9eqeltri 2457 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1110riotaclb 6526 . . . 4  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B )
128, 11sylibr 204 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
13 breq1 4156 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( G `  S )  .<_  y ) )
1413ralbidv 2669 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y ) )
15 breq2 4157 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  ( G `  S ) ) )
1615imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
1716ralbidv 2669 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
1814, 17anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) ) )
1918riota2 6508 . . 3  |-  ( ( ( G `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( G `  S
) ) )
207, 12, 19syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  (
( A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S
) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( G `  S
) ) )
216, 20mpbird 224 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E!wreu 2651   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   ` cfv 5394   iota_crio 6478   Basecbs 13396   lecple 13463   glbcglb 14327
This theorem is referenced by:  glble  14370  clatglb  14478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-undef 6479  df-riota 6485  df-glb 14359
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