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Theorem glbprop 14434
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbprop  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y, G, z
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y)    .<_ ( y, z)

Proof of Theorem glbprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3glbval 14433 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
543adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( G `  S )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
65eqcomd 2440 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( G `  S ) )
7 simp3 959 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
85, 7eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B )
9 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
101, 9eqeltri 2505 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1110riotaclb 6582 . . . 4  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B )
128, 11sylibr 204 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
13 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( G `  S )  .<_  y ) )
1413ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y ) )
15 breq2 4208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  ( G `  S ) ) )
1615imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
1716ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
1814, 17anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) ) )
1918riota2 6564 . . 3  |-  ( ( ( G `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( G `  S
) ) )
207, 12, 19syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  (
( A. y  e.  S  ( G `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S
) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( G `  S
) ) )
216, 20mpbird 224 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E!wreu 2699   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   iota_crio 6534   Basecbs 13461   lecple 13528   glbcglb 14392
This theorem is referenced by:  glble  14435  clatglb  14543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-undef 6535  df-riota 6541  df-glb 14424
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