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Theorem glbval 14446
Description: Value of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbval  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    B( y)    G( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)

Proof of Theorem glbval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbval.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3glbfval 14445 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  G  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
54fveq1d 5733 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( G `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
6 fvex 5745 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2508 . . . 4  |-  B  e. 
_V
87elpw2 4367 . . 3  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
9 raleq 2906 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
10 raleq 2906 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  z  .<_  y ) )
1110imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1211ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
139, 12anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1413riotabidv 6554 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
15 eqid 2438 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
16 riotaex 6556 . . . 4  |-  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  e. 
_V
1714, 15, 16fvmpt 5809 . . 3  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
188, 17sylbir 206 . 2  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
195, 18sylan9eq 2490 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457   iota_crio 6545   Basecbs 13474   lecple 13541   glbcglb 14405
This theorem is referenced by:  glbprop  14447  meetval2  14458  isglbd  14549  tosglb  24197  glb0N  30065  glbconN  30248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-riota 6552  df-glb 14437
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