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Theorem glmrngo 25482
Description: Generating a left module from a ring. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
glmring.1  |-  + t  =  ( 1st `  R
)
glmring.2  |-  . t  =  ( 2nd `  R
)
Assertion
Ref Expression
glmrngo  |-  ( R  e.  RingOps  ->  <. <. + t ,  . t >. ,  <. + t ,  . t >. >.  e.  Vec  )

Proof of Theorem glmrngo
Dummy variables  a 
b  c  d  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glmring.1 . . . 4  |-  + t  =  ( 1st `  R
)
2 glmring.2 . . . 4  |-  . t  =  ( 2nd `  R
)
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ran  + t  =  ran  + t
41, 2, 3rngoi 21047 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t
) --> ran  + t )  /\  ( A. x  e. 
ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e.  ran  + t
( ( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t ( y . t z ) )  /\  ( x . t ( y + t z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y
) . t z
)  =  ( ( x . t z
) + t (
y . t z
) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) ) )
5 simplll 734 . . . 4  |-  ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t :
( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  ->  + t  e.  AbelOp )
6 simpllr 735 . . . 4  |-  ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t :
( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  ->  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t
) --> ran  + t )
72, 1rngorn1eq 21087 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ran  + t  =  ran  . t )
82rngomndo 21088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RingOps  ->  . t  e. MndOp )
9 mndomgmid 21009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( . t  e. MndOp  ->  . t  e.  ( Magma  i^i  ExId  )
)
108, 9syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RingOps  ->  . t  e.  ( Magma  i^i  ExId  ) )
11 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  . t  =  ran  . t
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (GId `  . t )  =  (GId
`  . t )
1311, 12cmpidelt 20996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( . t  e.  (
Magma  i^i  ExId  )  /\  a  e.  ran  . t
)  ->  ( (
(GId `  . t ) . t a )  =  a  /\  ( a . t (GId `  . t ) )  =  a ) )
1413simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( . t  e.  (
Magma  i^i  ExId  )  /\  a  e.  ran  . t
)  ->  ( (GId `  . t ) . t a )  =  a )
1514ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( . t  e.  ( Magma  i^i 
ExId  )  ->  ( a  e.  ran  . t  ->  ( (GId `  . t ) . t
a )  =  a ) )
1610, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( a  e. 
ran  . t  ->  (
(GId `  . t ) . t a )  =  a ) )
17 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
+ t  =  ran  . t  ->  ( a  e.  ran  + t  <->  a  e.  ran  . t ) )
1817imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
+ t  =  ran  . t  ->  ( (
a  e.  ran  + t  ->  ( (GId `  . t ) . t
a )  =  a )  <->  ( a  e. 
ran  . t  ->  (
(GId `  . t ) . t a )  =  a ) ) )
1916, 18syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
+ t  =  ran  . t  ->  ( R  e.  RingOps  ->  ( a  e. 
ran  + t  ->  (
(GId `  . t ) . t a )  =  a ) ) )
207, 19mpcom 32 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( a  e. 
ran  + t  ->  (
(GId `  . t ) . t a )  =  a ) )
2120adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t :
( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  ->  (
a  e.  ran  + t  ->  ( (GId `  . t ) . t
a )  =  a ) )
2221imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t
) --> ran  + t )  /\  ( A. x  e. 
ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e.  ran  + t
( ( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t ( y . t z ) )  /\  ( x . t ( y + t z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y
) . t z
)  =  ( ( x . t z
) + t (
y . t z
) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  ->  ( (GId `  . t ) . t
a )  =  a )
23 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  ->  R  e.  RingOps )
2423adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  c  e.  ran  + t )  ->  R  e.  RingOps )
25 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  c  e.  ran  + t )  ->  b  e.  ran  + t )
26 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  c  e.  ran  + t )  ->  a  e.  ran  + t )
27 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  c  e.  ran  + t )  ->  c  e.  ran  + t )
281, 2, 3rngodi 21052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
b  e.  ran  + t  /\  a  e.  ran  + t  /\  c  e. 
ran  + t ) )  ->  ( b . t ( a + t c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) ) )
2924, 25, 26, 27, 28syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  c  e.  ran  + t )  ->  ( b . t
( a + t
c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) ) )
3029ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  ->  A. c  e.  ran  + t (
b . t (
a + t c
) )  =  ( ( b . t
a ) + t
( b . t
c ) ) )
3123adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  d  e.  ran  + t )  ->  R  e.  RingOps )
32 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  d  e.  ran  + t )  ->  b  e.  ran  + t )
33 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  d  e.  ran  + t )  ->  d  e.  ran  + t )
34 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  d  e.  ran  + t )  ->  a  e.  ran  + t )
351, 2, 3rngodir 21053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
b  e.  ran  + t  /\  d  e.  ran  + t  /\  a  e. 
ran  + t ) )  ->  ( ( b + t d ) . t a )  =  ( ( b . t a ) + t ( d . t a ) ) )
3631, 32, 33, 34, 35syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  d  e.  ran  + t )  ->  ( ( b + t d ) . t a )  =  ( ( b . t a ) + t ( d . t a ) ) )
37 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  ->  (
( x . t
y ) . t
z )  =  ( x . t (
y . t z
) ) )
3837ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  ran  + t
( ( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t ( y . t z ) )  /\  ( x . t ( y + t z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y
) . t z
)  =  ( ( x . t z
) + t (
y . t z
) ) )  ->  A. z  e.  ran  + t ( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t ( y . t z ) ) )
3938ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. y  e.  ran  + t A. z  e.  ran  + t ( ( ( x . t y
) . t z
)  =  ( x . t ( y . t z ) )  /\  ( x . t ( y + t z ) )  =  ( ( x . t y
) + t (
x . t z
) )  /\  (
( x + t
y ) . t
z )  =  ( ( x . t
z ) + t
( y . t
z ) ) )  ->  A. y  e.  ran  + t A. z  e. 
ran  + t ( ( x . t y
) . t z
)  =  ( x . t ( y . t z ) ) )
4039ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e. 
ran  + t ( ( ( x . t
y ) . t
z )  =  ( x . t (
y . t z
) )  /\  (
x . t (
y + t z
) )  =  ( ( x . t
y ) + t
( x . t
z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  ->  A. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e.  ran  + t ( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t ( y . t z ) ) )
41 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  b  ->  (
x . t y
)  =  ( b . t y ) )
4241oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  b  ->  (
( x . t
y ) . t
z )  =  ( ( b . t
y ) . t
z ) )
43 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  b  ->  (
x . t (
y . t z
) )  =  ( b . t (
y . t z
) ) )
4442, 43eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  <->  ( (
b . t y
) . t z
)  =  ( b . t ( y . t z ) ) ) )
45 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  d  ->  (
b . t y
)  =  ( b . t d ) )
4645oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  d  ->  (
( b . t
y ) . t
z )  =  ( ( b . t
d ) . t
z ) )
47 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  d  ->  (
y . t z
)  =  ( d . t z ) )
4847oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  d  ->  (
b . t (
y . t z
) )  =  ( b . t (
d . t z
) ) )
4946, 48eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( b . t y ) . t z )  =  ( b . t
( y . t
z ) )  <->  ( (
b . t d
) . t z
)  =  ( b . t ( d . t z ) ) ) )
50 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  a  ->  (
( b . t
d ) . t
z )  =  ( ( b . t
d ) . t
a ) )
51 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  a  ->  (
d . t z
)  =  ( d . t a ) )
5251oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  a  ->  (
b . t (
d . t z
) )  =  ( b . t (
d . t a
) ) )
5350, 52eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  a  ->  (
( ( b . t d ) . t z )  =  ( b . t
( d . t
z ) )  <->  ( (
b . t d
) . t a
)  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) )
5444, 49, 53rspc3v 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  ran  + t  /\  d  e.  ran  + t  /\  a  e. 
ran  + t )  -> 
( A. x  e. 
ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e.  ran  + t
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  -> 
( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t
( d . t
a ) ) ) )
55543exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ran  + t  ->  ( d  e.  ran  + t  ->  ( a  e.  ran  + t  ->  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( x . t
y ) . t
z )  =  ( x . t (
y . t z
) )  ->  (
( b . t
d ) . t
a )  =  ( b . t (
d . t a
) ) ) ) ) )
5655com4r 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e. 
ran  + t ( ( x . t y
) . t z
)  =  ( x . t ( y . t z ) )  ->  ( b  e.  ran  + t  ->  ( d  e.  ran  + t  ->  ( a  e. 
ran  + t  ->  (
( b . t
d ) . t
a )  =  ( b . t (
d . t a
) ) ) ) ) )
5740, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e. 
ran  + t ( ( ( x . t
y ) . t
z )  =  ( x . t (
y . t z
) )  /\  (
x . t (
y + t z
) )  =  ( ( x . t
y ) + t
( x . t
z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  ->  ( b  e.  ran  + t  ->  ( d  e.  ran  + t  ->  ( a  e. 
ran  + t  ->  (
( b . t
d ) . t
a )  =  ( b . t (
d . t a
) ) ) ) ) )
5857com34 77 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e. 
ran  + t ( ( ( x . t
y ) . t
z )  =  ( x . t (
y . t z
) )  /\  (
x . t (
y + t z
) )  =  ( ( x . t
y ) + t
( x . t
z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  ->  ( b  e.  ran  + t  ->  ( a  e.  ran  + t  ->  ( d  e. 
ran  + t  ->  (
( b . t
d ) . t
a )  =  ( b . t (
d . t a
) ) ) ) ) )
5958com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e. 
ran  + t ( ( ( x . t
y ) . t
z )  =  ( x . t (
y . t z
) )  /\  (
x . t (
y + t z
) )  =  ( ( x . t
y ) + t
( x . t
z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  ->  ( a  e.  ran  + t  ->  ( b  e.  ran  + t  ->  ( d  e. 
ran  + t  ->  (
( b . t
d ) . t
a )  =  ( b . t (
d . t a
) ) ) ) ) )
6059ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  ->  (
a  e.  ran  + t  ->  ( b  e. 
ran  + t  ->  (
d  e.  ran  + t  ->  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) ) ) )
6160adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t :
( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  ->  (
a  e.  ran  + t  ->  ( b  e. 
ran  + t  ->  (
d  e.  ran  + t  ->  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) ) ) )
6261imp41 576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  d  e.  ran  + t )  ->  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t
( d . t
a ) ) )
6336, 62jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  /\  d  e.  ran  + t )  ->  ( ( ( b + t d ) . t a )  =  ( ( b . t a ) + t ( d . t a ) )  /\  ( ( b . t d
) . t a
)  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) )
6463ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  ->  A. d  e.  ran  + t (
( ( b + t d ) . t a )  =  ( ( b . t a ) + t ( d . t a ) )  /\  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) )
6530, 64jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  /\  b  e.  ran  + t )  ->  ( A. c  e.  ran  + t ( b . t ( a + t c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) )  /\  A. d  e.  ran  + t (
( ( b + t d ) . t a )  =  ( ( b . t a ) + t ( d . t a ) )  /\  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) ) )
6665ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t
) --> ran  + t )  /\  ( A. x  e. 
ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e.  ran  + t
( ( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t ( y . t z ) )  /\  ( x . t ( y + t z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y
) . t z
)  =  ( ( x . t z
) + t (
y . t z
) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  ->  A. b  e.  ran  + t ( A. c  e.  ran  + t (
b . t (
a + t c
) )  =  ( ( b . t
a ) + t
( b . t
c ) )  /\  A. d  e.  ran  + t ( ( ( b + t d
) . t a
)  =  ( ( b . t a
) + t (
d . t a
) )  /\  (
( b . t
d ) . t
a )  =  ( b . t (
d . t a
) ) ) ) )
6722, 66jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t
) --> ran  + t )  /\  ( A. x  e. 
ran  + t A. y  e.  ran  + t A. z  e.  ran  + t
( ( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t ( y . t z ) )  /\  ( x . t ( y + t z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y
) . t z
)  =  ( ( x . t z
) + t (
y . t z
) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  /\  a  e.  ran  + t )  ->  ( ( (GId `  . t ) . t
a )  =  a  /\  A. b  e. 
ran  + t ( A. c  e.  ran  + t
( b . t
( a + t
c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) )  /\  A. d  e. 
ran  + t ( ( ( b + t
d ) . t
a )  =  ( ( b . t
a ) + t
( d . t
a ) )  /\  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t
( d . t
a ) ) ) ) ) )
6867ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t :
( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  ->  A. a  e.  ran  + t (
( (GId `  . t ) . t
a )  =  a  /\  A. b  e. 
ran  + t ( A. c  e.  ran  + t
( b . t
( a + t
c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) )  /\  A. d  e. 
ran  + t ( ( ( b + t
d ) . t
a )  =  ( ( b . t
a ) + t
( d . t
a ) )  /\  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t
( d . t
a ) ) ) ) ) )
695, 6, 683jca 1132 . . 3  |-  ( ( ( ( + t  e.  AbelOp  /\  . t :
( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t )  /\  ( A. x  e.  ran  + t A. y  e. 
ran  + t A. z  e.  ran  + t (
( ( x . t y ) . t z )  =  ( x . t
( y . t
z ) )  /\  ( x . t
( y + t
z ) )  =  ( ( x . t y ) + t ( x . t z ) )  /\  ( ( x + t y ) . t z )  =  ( ( x . t z ) + t ( y . t z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  + t A. y  e.  ran  + t ( ( x . t y )  =  y  /\  (
y . t x
)  =  y ) ) )  /\  R  e.  RingOps )  ->  ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t
) --> ran  + t  /\  A. a  e.  ran  + t ( ( (GId
`  . t ) . t a )  =  a  /\  A. b  e.  ran  + t ( A. c  e.  ran  + t ( b . t ( a + t c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) )  /\  A. d  e.  ran  + t (
( ( b + t d ) . t a )  =  ( ( b . t a ) + t ( d . t a ) )  /\  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) ) ) ) )
704, 69mpancom 650 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( + t  e.  AbelOp  /\  . t :
( ran  + t  X.  ran  + t ) --> ran 
+ t  /\  A. a  e.  ran  + t
( ( (GId `  . t ) . t
a )  =  a  /\  A. b  e. 
ran  + t ( A. c  e.  ran  + t
( b . t
( a + t
c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) )  /\  A. d  e. 
ran  + t ( ( ( b + t
d ) . t
a )  =  ( ( b . t
a ) + t
( d . t
a ) )  /\  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t
( d . t
a ) ) ) ) ) ) )
71 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( 1st `  R )  e.  _V
721, 71eqeltri 2353 . . . 4  |-  + t  e.  _V
73 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( 2nd `  R )  e.  _V
742, 73eqeltri 2353 . . . 4  |-  . t  e.  _V
7572, 74, 723pm3.2i 1130 . . 3  |-  ( + t  e.  _V  /\  . t  e.  _V  /\ 
+ t  e.  _V )
76 df-br 4024 . . . 4  |-  ( <. + t ,  . t >.  Vec  <. + t ,  . t >.  <->  <. <. + t ,  . t >. ,  <. + t ,  . t >. >.  e.  Vec  )
773, 3vecval1b 25451 . . . 4  |-  ( ( ( + t  e.  _V  /\  . t  e.  _V  /\  + t  e.  _V )  /\  . t  e.  _V )  ->  ( <. + t ,  . t >.  Vec  <. + t ,  . t >.  <->  ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t
) --> ran  + t  /\  A. a  e.  ran  + t ( ( (GId
`  . t ) . t a )  =  a  /\  A. b  e.  ran  + t ( A. c  e.  ran  + t ( b . t ( a + t c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) )  /\  A. d  e.  ran  + t (
( ( b + t d ) . t a )  =  ( ( b . t a ) + t ( d . t a ) )  /\  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) ) ) ) ) )
7876, 77syl5bbr 250 . . 3  |-  ( ( ( + t  e.  _V  /\  . t  e.  _V  /\  + t  e.  _V )  /\  . t  e.  _V )  ->  ( <. <. + t ,  . t >. ,  <. + t ,  . t >. >.  e.  Vec  <->  ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t
) --> ran  + t  /\  A. a  e.  ran  + t ( ( (GId
`  . t ) . t a )  =  a  /\  A. b  e.  ran  + t ( A. c  e.  ran  + t ( b . t ( a + t c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) )  /\  A. d  e.  ran  + t (
( ( b + t d ) . t a )  =  ( ( b . t a ) + t ( d . t a ) )  /\  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) ) ) ) ) )
7975, 74, 78mp2an 653 . 2  |-  ( <. <. + t ,  . t >. ,  <. + t ,  . t >. >.  e.  Vec  <->  ( + t  e.  AbelOp  /\  . t : ( ran  + t  X.  ran  + t
) --> ran  + t  /\  A. a  e.  ran  + t ( ( (GId
`  . t ) . t a )  =  a  /\  A. b  e.  ran  + t ( A. c  e.  ran  + t ( b . t ( a + t c ) )  =  ( ( b . t a ) + t ( b . t c ) )  /\  A. d  e.  ran  + t (
( ( b + t d ) . t a )  =  ( ( b . t a ) + t ( d . t a ) )  /\  ( ( b . t d ) . t a )  =  ( b . t ( d . t a ) ) ) ) ) ) )
8070, 79sylibr 203 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  <. <. + t ,  . t >. ,  <. + t ,  . t >. >.  e.  Vec  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121  GIdcgi 20854   AbelOpcablo 20948    ExId cexid 20981   Magmacmagm 20985  MndOpcmndo 21004   RingOpscrngo 21042    Vec cvec 25449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ablo 20949  df-ass 20980  df-exid 20982  df-mgm 20986  df-sgr 20998  df-mndo 21005  df-rngo 21043  df-vec 25450
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