Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grothac Unicode version

Theorem grothac 8452
 Description: The Tarski-Grothendieck Axiom implies the Axiom of Choice (in the form of cardeqv 8096). This can be put in a more conventional form via ween 7662 and dfac8 7761. Note that the mere existence of strongly inaccessible cardinals doesn't imply AC, but rather the particular form of the Tarski-Grothendieck axiom (see http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2008-March/012783.html). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
grothac

Proof of Theorem grothac
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth6 8450 . . . 4
2 pweq 3628 . . . . . . . . . . 11
32sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10
42eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10
53, 4anbi12d 691 . . . . . . . . 9
65rspcva 2882 . . . . . . . 8
76simpld 445 . . . . . . 7
8 rabss 3250 . . . . . . . 8
98biimpri 197 . . . . . . 7
10 vex 2791 . . . . . . . . . . 11
1110canth2 7014 . . . . . . . . . 10
12 sdomdom 6889 . . . . . . . . . 10
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . 9
14 vex 2791 . . . . . . . . . 10
15 ssdomg 6907 . . . . . . . . . 10
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . 9
17 domtr 6914 . . . . . . . . 9
1813, 16, 17sylancr 644 . . . . . . . 8
19 tskwe 7583 . . . . . . . . 9
2014, 19mpan 651 . . . . . . . 8
21 numdom 7665 . . . . . . . . 9
2221expcom 424 . . . . . . . 8
2318, 20, 22syl2im 34 . . . . . . 7
247, 9, 23syl2im 34 . . . . . 6
25243impia 1148 . . . . 5
2625exlimiv 1666 . . . 4
271, 26ax-mp 8 . . 3
2827, 102th 230 . 2
2928eqriv 2280 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  cpw 3625   class class class wbr 4023   cdm 4689   cdom 6861   csdm 6862  ccrd 7568 This theorem is referenced by:  axgroth3  8453 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-groth 8445 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-card 7572
 Copyright terms: Public domain W3C validator