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Theorem grothomex 8467
Description: The Tarski-Grothendieck Axiom implies the Axiom of Infinity (in the form of omex 7360). Note that our proof depends on neither the Axiom of Infinity nor Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
grothomex  |-  om  e.  _V

Proof of Theorem grothomex
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r111 7463 . . . 4  |-  R1 : On
-1-1-> _V
2 omsson 4676 . . . 4  |-  om  C_  On
3 f1ores 5503 . . . 4  |-  ( ( R1 : On -1-1-> _V  /\ 
om  C_  On )  -> 
( R1  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om ) )
41, 2, 3mp2an 653 . . 3  |-  ( R1  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om )
5 f1of1 5487 . . 3  |-  ( ( R1  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om )  ->  ( R1  |`  om ) : om -1-1-> ( R1 " om ) )
64, 5ax-mp 8 . 2  |-  ( R1  |`  om ) : om -1-1-> ( R1 " om )
7 0ex 4166 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
8 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  y  <->  (/)  e.  y ) )
98anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  <-> 
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) ) )
109exbidv 1616 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  <->  E. y
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) ) )
11 axgroth6 8466 . . . . 5  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )
12 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  ->  ~P z  e.  y )
1312ralimi 2631 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y
)  ->  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )
1413anim2i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y ) )  ->  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
15143adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~<  y  ->  z  e.  y ) )  -> 
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
1615eximi 1566 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z  ~< 
y  ->  z  e.  y ) )  ->  E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
1711, 16ax-mp 8 . . . 4  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )
187, 10, 17vtocl 2851 . . 3  |-  E. y
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )
19 r1fnon 7455 . . . . . . . . 9  |-  R1  Fn  On
20 fvelimab 5594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1  Fn  On  /\  om  C_  On )  ->  (
w  e.  ( R1
" om )  <->  E. x  e.  om  ( R1 `  x )  =  w ) )
2119, 2, 20mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( R1 " om )  <->  E. x  e.  om  ( R1 `  x )  =  w )
22 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
2322eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  x )  e.  y  <->  ( R1 `  (/) )  e.  y
) )
24 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  w
) )
2524eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( R1 `  x
)  e.  y  <->  ( R1 `  w )  e.  y ) )
26 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  w )
)
2726eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( ( R1 `  x )  e.  y  <-> 
( R1 `  suc  w )  e.  y ) )
28 r10 7456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2928eleq1i 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R1 `  (/) )  e.  y  <->  (/)  e.  y )
3029biimpri 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  y  ->  ( R1
`  (/) )  e.  y )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 `  (/) )  e.  y )
32 pweq 3641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( R1 `  w )  ->  ~P z  =  ~P ( R1 `  w ) )
3332eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R1 `  w )  ->  ( ~P z  e.  y  <->  ~P ( R1 `  w
)  e.  y ) )
3433rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  ->  ( ( R1 `  w
)  e.  y  ->  ~P ( R1 `  w
)  e.  y ) )
35 nnon 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  om  ->  w  e.  On )
36 r1suc 7458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  On  ->  ( R1 `  suc  w )  =  ~P ( R1
`  w ) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  om  ->  ( R1 `  suc  w )  =  ~P ( R1
`  w ) )
3837eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  om  ->  (
( R1 `  suc  w )  e.  y  <->  ~P ( R1 `  w
)  e.  y ) )
3938biimprcd 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P ( R1 `  w
)  e.  y  -> 
( w  e.  om  ->  ( R1 `  suc  w )  e.  y ) )
4034, 39syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  ->  ( ( R1 `  w
)  e.  y  -> 
( w  e.  om  ->  ( R1 `  suc  w )  e.  y ) ) )
4140com3r 73 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  om  ->  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  ->  ( ( R1 `  w )  e.  y  ->  ( R1 `  suc  w )  e.  y ) ) )
4241adantld 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  (
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( ( R1
`  w )  e.  y  ->  ( R1 ` 
suc  w )  e.  y ) ) )
4323, 25, 27, 31, 42finds2 4700 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 `  x )  e.  y ) )
44 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  x )  =  w  ->  (
( R1 `  x
)  e.  y  <->  w  e.  y ) )
4544biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  x )  =  w  ->  (
( R1 `  x
)  e.  y  ->  w  e.  y )
)
4643, 45syl9 66 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
( R1 `  x
)  =  w  -> 
( ( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  w  e.  y ) ) )
4746rexlimiv 2674 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  om  ( R1 `  x )  =  w  ->  ( ( (/) 
e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
4821, 47sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( R1 " om )  ->  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
4948com12 27 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( w  e.  ( R1 " om )  ->  w  e.  y ) )
5049ssrdv 3198 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 " om )  C_  y )
51 vex 2804 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5251ssex 4174 . . . . 5  |-  ( ( R1 " om )  C_  y  ->  ( R1 " om )  e.  _V )
5350, 52syl 15 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 " om )  e.  _V )
5453exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. y ( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 " om )  e. 
_V )
5518, 54ax-mp 8 . 2  |-  ( R1
" om )  e. 
_V
56 f1dmex 5767 . 2  |-  ( ( ( R1  |`  om ) : om -1-1-> ( R1 " om )  /\  ( R1 " om )  e. 
_V )  ->  om  e.  _V )
576, 55, 56mp2an 653 1  |-  om  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    ~< csdm 6878   R1cr1 7450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-groth 8461
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-r1 7452
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