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Theorem grothpw 8627
Description: Derive the Axiom of Power Sets ax-pow 4311 from the Tarski-Grothendieck axiom ax-groth 8624. That it follows is mentioned by Bob Solovay at http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2008-March/012783.html. Note that ax-pow 4311 is not used by the proof. (Contributed by Gérard Lang, 22-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
grothpw  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem grothpw
StepHypRef Expression
1 axgroth5 8625 . . 3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
2 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  ->  ~P z  C_  y )
32ralimi 2717 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  A. z  e.  y  ~P z  C_  y
)
4 pweq 3738 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ~P z  =  ~P x
)
54sseq1d 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( ~P z  C_  y  <->  ~P x  C_  y ) )
65rspccv 2985 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  ->  (
x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
73, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
87anim2i 553 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
) )  ->  (
x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) ) )
983adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  -> 
( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) ) )
10 pm3.35 571 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) )  ->  ~P x  C_  y )
11 vex 2895 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1211ssex 4281 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  ->  ~P x  e.  _V )
139, 10, 123syl 19 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  ->  ~P x  e.  _V )
1413exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  ->  ~P x  e.  _V )
151, 14ax-mp 8 . 2  |-  ~P x  e.  _V
16 pwidg 3747 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ~P x  e.  ~P ~P x )
17 pweq 3738 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ~P x  ->  ~P y  =  ~P ~P x )
1817eleq2d 2447 . . . . . 6  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( ~P x  e. 
~P y  <->  ~P x  e.  ~P ~P x ) )
1918spcegv 2973 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ( ~P x  e.  ~P ~P x  ->  E. y ~P x  e.  ~P y ) )
2016, 19mpd 15 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  E. y ~P x  e. 
~P y )
21 elex 2900 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2221exlimiv 1641 . . . 4  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2320, 22impbii 181 . . 3  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y ~P x  e.  ~P y )
2411elpw2 4298 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  ~P x  C_  y )
25 pwss 3749 . . . . . 6  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( z  C_  x  ->  z  e.  y ) )
26 dfss2 3273 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  x  <->  A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
) )
2726imbi1i 316 . . . . . . 7  |-  ( ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2827albii 1572 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2925, 28bitri 241 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
3024, 29bitri 241 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3130exbii 1589 . . 3  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3223, 31bitri 241 . 2  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3315, 32mpbi 200 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   class class class wbr 4146    ~~ cen 7035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-groth 8624
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ral 2647  df-rex 2648  df-v 2894  df-in 3263  df-ss 3270  df-pw 3737
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