MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpass Unicode version

Theorem grpass 14545
Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grpass  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem grpass
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14543 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mndass 14422 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
51, 4sylan 457 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   Mndcmnd 14410   Grpcgrp 14411
This theorem is referenced by:  grprcan  14564  grprinv  14578  grpinvid1  14579  grpinvid2  14580  grplcan  14583  grplmulf1o  14591  grpinvadd  14593  grpsubadd  14602  grpaddsubass  14604  grpsubsub4  14607  grplactcnv  14613  mulgdirlem  14640  imasgrp  14660  issubg2  14685  isnsg3  14700  nmzsubg  14707  ssnmz  14708  eqger  14716  eqgcpbl  14720  divsgrp  14721  conjghm  14762  conjnmz  14765  subgga  14803  cntzsubg  14861  sylow1lem2  14959  sylow2blem1  14980  sylow2blem2  14981  sylow2blem3  14982  sylow3lem1  14987  sylow3lem2  14988  lsmass  15028  lsmmod  15033  lsmdisj2  15040  gex2abl  15192  rngcom  15418  lmodass  15691  psrgrp  16192  ghmcnp  17849  divstgpopn  17854  lfladdass  29081  dvhvaddass  31105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-nul 4186  ax-pow 4225
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-iota 5256  df-fv 5300  df-ov 5903  df-mnd 14416  df-grp 14538
  Copyright terms: Public domain W3C validator