MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbasex Unicode version

Theorem grpbasex 13527
Description: The base of an explicitly given group. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use grpbase 13524 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 17-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
grpstrx.b  |-  B  e. 
_V
grpstrx.p  |-  .+  e.  _V
grpstrx.g  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
Assertion
Ref Expression
grpbasex  |-  B  =  ( Base `  G
)

Proof of Theorem grpbasex
StepHypRef Expression
1 grpstrx.b . 2  |-  B  e. 
_V
2 grpstrx.g . . . 4  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
3 basendx 13469 . . . . . 6  |-  ( Base `  ndx )  =  1
43opeq1i 3947 . . . . 5  |-  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  =  <. 1 ,  B >.
5 plusgndx 13518 . . . . . 6  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
65opeq1i 3947 . . . . 5  |-  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  =  <. 2 ,  .+  >.
74, 6preq12i 3848 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  =  { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  .+  >. }
82, 7eqtr4i 2427 . . 3  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. }
98grpbase 13524 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  B  =  ( Base `  G
) )
101, 9ax-mp 8 1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {cpr 3775   <.cop 3777   ` cfv 5413   1c1 8947   2c2 10005   ndxcnx 13421   Basecbs 13424   +g cplusg 13484
This theorem is referenced by:  isgrpix  14787  cnaddablx  15436  zaddablx  15438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497
  Copyright terms: Public domain W3C validator