MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbn0 Unicode version

Theorem grpbn0 14511
Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpbn0  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem grpbn0
StepHypRef Expression
1 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
31, 2grpidcl 14510 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
4 ne0i 3461 . 2  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
53, 4syl 15 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362
This theorem is referenced by:  grpn0  14514  issubg2  14636  ghmrn  14696  gexcl3  14898  gexcl2  14900  sylow1lem1  14909  sylow1lem3  14911  sylow1lem5  14913  pgpfi  14916  pgpfi2  14917  sylow2blem3  14933  slwhash  14935  fislw  14936  gexex  15145  lt6abl  15181  ablfac1lem  15303  ablfac1b  15305  ablfac1c  15306  ablfac1eu  15308  pgpfac1lem2  15310  pgpfac1lem3a  15311  ablfaclem3  15322  dvdsr02  15438  lmodbn0  15637  lmodsn0  15640  islss3  15716  dfacbasgrp  27273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489
  Copyright terms: Public domain W3C validator