MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbn0 Structured version   Unicode version

Theorem grpbn0 14826
Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpbn0  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem grpbn0
StepHypRef Expression
1 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
31, 2grpidcl 14825 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
4 ne0i 3626 . 2  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
53, 4syl 16 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   (/)c0 3620   ` cfv 5446   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677
This theorem is referenced by:  grpn0  14829  issubg2  14951  ghmrn  15011  gexcl3  15213  gexcl2  15215  sylow1lem1  15224  sylow1lem3  15226  sylow1lem5  15228  pgpfi  15231  pgpfi2  15232  sylow2blem3  15248  slwhash  15250  fislw  15251  gexex  15460  lt6abl  15496  ablfac1lem  15618  ablfac1b  15620  ablfac1c  15621  ablfac1eu  15623  pgpfac1lem2  15625  pgpfac1lem3a  15626  ablfaclem3  15637  dvdsr02  15753  lmodbn0  15952  lmodsn0  15955  islss3  16027  dfacbasgrp  27241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804
  Copyright terms: Public domain W3C validator