MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbn0 Unicode version

Theorem grpbn0 14527
Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpbn0  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem grpbn0
StepHypRef Expression
1 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
31, 2grpidcl 14526 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
4 ne0i 3474 . 2  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
53, 4syl 15 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   ` cfv 5271   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378
This theorem is referenced by:  grpn0  14530  issubg2  14652  ghmrn  14712  gexcl3  14914  gexcl2  14916  sylow1lem1  14925  sylow1lem3  14927  sylow1lem5  14929  pgpfi  14932  pgpfi2  14933  sylow2blem3  14949  slwhash  14951  fislw  14952  gexex  15161  lt6abl  15197  ablfac1lem  15319  ablfac1b  15321  ablfac1c  15322  ablfac1eu  15324  pgpfac1lem2  15326  pgpfac1lem3a  15327  ablfaclem3  15338  dvdsr02  15454  lmodbn0  15653  lmodsn0  15656  islss3  15732  dfacbasgrp  27376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505
  Copyright terms: Public domain W3C validator