MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbn0 Unicode version

Theorem grpbn0 14761
Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpbn0  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem grpbn0
StepHypRef Expression
1 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2387 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
31, 2grpidcl 14760 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
4 ne0i 3577 . 2  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
53, 4syl 16 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   (/)c0 3571   ` cfv 5394   Basecbs 13396   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612
This theorem is referenced by:  grpn0  14764  issubg2  14886  ghmrn  14946  gexcl3  15148  gexcl2  15150  sylow1lem1  15159  sylow1lem3  15161  sylow1lem5  15163  pgpfi  15166  pgpfi2  15167  sylow2blem3  15183  slwhash  15185  fislw  15186  gexex  15395  lt6abl  15431  ablfac1lem  15553  ablfac1b  15555  ablfac1c  15556  ablfac1eu  15558  pgpfac1lem2  15560  pgpfac1lem3a  15561  ablfaclem3  15572  dvdsr02  15688  lmodbn0  15887  lmodsn0  15890  islss3  15962  dfacbasgrp  26942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-ov 6023  df-riota 6485  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739
  Copyright terms: Public domain W3C validator