MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpcl Unicode version

Theorem grpcl 14511
Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grpcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpcl
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14510 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mndcl 14388 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
51, 4syl3an1 1215 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378
This theorem is referenced by:  grprcan  14531  grprinv  14545  grplmulf1o  14558  grpinvadd  14560  grpsubf  14561  grpsubadd  14569  grpaddsubass  14571  grpnpcan  14573  grpsubsub4  14574  grppnpcan2  14575  grplactcnv  14580  mulgcl  14600  mulgdir  14608  imasgrp  14627  subgcl  14647  nsgacs  14669  nmzsubg  14674  nsgid  14679  eqger  14683  eqgcpbl  14687  divsgrp  14688  divsadd  14690  ghmrn  14712  idghm  14714  ghmpreima  14720  ghmnsgima  14722  ghmnsgpreima  14723  ghmf1o  14728  conjghm  14729  conjnmz  14732  divsghm  14735  gaid  14769  subgga  14770  gass  14771  gaorber  14778  gastacl  14779  gastacos  14780  galactghm  14799  lactghmga  14800  cntzsubg  14828  sylow1lem2  14926  sylow2blem1  14947  sylow2blem2  14948  sylow2blem3  14949  sylow3lem1  14954  sylow3lem2  14955  subgdisj1  15016  ablsub4  15130  abladdsub4  15131  mulgdi  15142  mulgghm  15144  invghm  15146  ghmplusg  15154  odadd1  15156  odadd2  15157  odadd  15158  gex2abl  15159  gexexlem  15160  torsubg  15162  oddvdssubg  15163  frgpnabllem2  15178  rngacl  15384  rngpropd  15388  drngmcl  15541  abvtrivd  15621  lmodacl  15654  lmodvacl  15657  lmodprop2d  15703  prdslmodd  15742  asclghm  16094  psraddcl  16144  mplind  16259  opnsubg  17806  ghmcnp  17813  divstgpopn  17818  ngprcan  18147  nmotri  18264  evlslem1  19415  evl1addd  19433  abvcxp  20780  pwssplit2  27292  gicabl  27366  isnumbasgrplem2  27372  symgsssg  27511  symgfisg  27512  symggen  27514  mendlmod  27604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165  ax-pow 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-mnd 14383  df-grp 14505
  Copyright terms: Public domain W3C validator