MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpcl Unicode version

Theorem grpcl 14495
Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grpcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpcl
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14494 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mndcl 14372 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
51, 4syl3an1 1215 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362
This theorem is referenced by:  grprcan  14515  grprinv  14529  grplmulf1o  14542  grpinvadd  14544  grpsubf  14545  grpsubadd  14553  grpaddsubass  14555  grpnpcan  14557  grpsubsub4  14558  grppnpcan2  14559  grplactcnv  14564  mulgcl  14584  mulgdir  14592  imasgrp  14611  subgcl  14631  nsgacs  14653  nmzsubg  14658  nsgid  14663  eqger  14667  eqgcpbl  14671  divsgrp  14672  divsadd  14674  ghmrn  14696  idghm  14698  ghmpreima  14704  ghmnsgima  14706  ghmnsgpreima  14707  ghmf1o  14712  conjghm  14713  conjnmz  14716  divsghm  14719  gaid  14753  subgga  14754  gass  14755  gaorber  14762  gastacl  14763  gastacos  14764  galactghm  14783  lactghmga  14784  cntzsubg  14812  sylow1lem2  14910  sylow2blem1  14931  sylow2blem2  14932  sylow2blem3  14933  sylow3lem1  14938  sylow3lem2  14939  subgdisj1  15000  ablsub4  15114  abladdsub4  15115  mulgdi  15126  mulgghm  15128  invghm  15130  ghmplusg  15138  odadd1  15140  odadd2  15141  odadd  15142  gex2abl  15143  gexexlem  15144  torsubg  15146  oddvdssubg  15147  frgpnabllem2  15162  rngacl  15368  rngpropd  15372  drngmcl  15525  abvtrivd  15605  lmodacl  15638  lmodvacl  15641  lmodprop2d  15687  prdslmodd  15726  asclghm  16078  psraddcl  16128  mplind  16243  opnsubg  17790  ghmcnp  17797  divstgpopn  17802  ngprcan  18131  nmotri  18248  evlslem1  19399  evl1addd  19417  abvcxp  20764  pwssplit2  26601  gicabl  26675  isnumbasgrplem2  26681  symgsssg  26820  symgfisg  26821  symggen  26823  mendlmod  26913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149  ax-pow 4188
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-mnd 14367  df-grp 14489
  Copyright terms: Public domain W3C validator