MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpidcl Unicode version

Theorem grpidcl 14720
Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpidcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpidcl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpidcl  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem grpidcl
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14704 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpidcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpidcl.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42, 3mndidcl 14601 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 15 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358   Basecbs 13356   0gc0g 13610   Mndcmnd 14571   Grpcgrp 14572
This theorem is referenced by:  grpbn0  14721  grprcan  14725  grpid  14727  isgrpid2  14728  grprinv  14739  grpinvid  14743  grpinvval2  14759  grpsubid1  14761  mulgcl  14794  mulgz  14798  imasgrp  14821  subg0  14837  subg0cl  14839  issubg4  14848  0subg  14852  nmzsubg  14868  eqgid  14879  divsgrp  14882  divs0  14885  ghmid  14899  ghmpreima  14914  ghmf1  14921  gafo  14960  gaid  14963  gass  14965  gaorber  14972  gastacl  14973  lactghmga  14994  cayleylem2  14998  od1  15082  gexdvds  15105  sylow1lem2  15120  sylow3lem1  15148  lsmdisj2  15201  0frgp  15298  odadd1  15350  torsubg  15356  oddvdssubg  15357  0cyg  15389  prmcyg  15390  dprdfadd  15465  dprdsubg  15469  dprdz  15475  pgpfac1lem3a  15521  rng0cl  15572  rnglz  15587  rngrz  15588  isdrng2  15732  srng0  15835  lmod0vcl  15869  islmhm2  16005  psr0cl  16349  mplsubglem  16389  frgpcyg  16744  ip0l  16757  ocvlss  16789  istgp2  17987  cldsubg  18006  tgpconcompeqg  18007  tgpconcomp  18008  snclseqg  18011  tgphaus  18012  tgpt1  18013  divstgphaus  18018  tgptsmscls  18045  nrmmetd  18310  nmfval2  18326  nmval2  18327  nmf2  18328  ngpds3  18342  nmge0  18351  nmeq0  18352  nminv  18355  nmmtri  18356  nmrtri  18358  nm0  18361  tngnm  18380  idnghm  18465  nmcn  18563  nmoleub2lem2  18812  mdeg0  19671  dchrinv  20723  dchr1re  20725  dchrpt  20729  dchrsum2  20730  dchrhash  20733  rpvmasumlem  20859  rpvmasum2  20884  dchrisum0re  20885  kerf1hrm  23627  qqh0  23840  sconpi1  24373  symgsssg  26914  symgfisg  26915  grpvlinv  26956  lfl0f  29330  lkrlss  29356  lshpkrlem1  29371  lkrin  29425  dvhgrp  31368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fv 5366  df-ov 5984  df-riota 6446  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699
  Copyright terms: Public domain W3C validator