Theorem grpidcl 8055

Description: The identity element of a group belongs to the group.

Hypotheses

Ref	Expression
grpidval.1	|- X = ran G
grpidval.2	|- U = (Id` G)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- (G e. Grp -> U e. X)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpidval.1	. . 3 |- X = ran G
2		grpidval.2	. . 3 |- U = (Id` G)
3	1, 2	grpidval 8054	. 2 |- (G e. Grp -> U = U.{u e. X | A.x e. X (uGx) = x})
4	1	grpideu 8050	. . 3 |- (G e. Grp -> E!u e. X A.x e. X (uGx) = x)
5		reucl 2891	. . 3 |- (E!u e. X A.x e. X (uGx) = x -> U.{u e. X | A.x e. X (uGx) = x} e. X)
6	4, 5	syl 10	. 2 |- (G e. Grp -> U.{u e. X | A.x e. X (uGx) = x} e. X)
7	3, 6	eqeltrd 1551	1 |- (G e. Grp -> U e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E!wreu 1650  {crab 1651  U.cuni 2507  ran crn 3177  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030  Idcgi 8031

This theorem is referenced by:  grpidinv2 8056  grpid 8061  grpinvid 8070  subgid 8116  ghgrpilem4 8132  ring0cl 8155  vczcl 8181  nvzcl 8251  ghomgrpilem2 10381  ghomid 10389  ghomf1olem 10391  cayleylem3 10406

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-grp 8034  df-gid 8035

Copyright terms: Public domain