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Theorem grpidpropd 14650
Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same identity element. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
mndpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
mndpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
grpidpropd  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, L, y

Proof of Theorem grpidpropd
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndpropd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
21eqeq1d 2396 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( x ( +g  `  K ) y )  =  y  <-> 
( x ( +g  `  L ) y )  =  y ) )
31proplem 13843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z ( +g  `  K ) w )  =  ( z ( +g  `  L ) w ) )
43proplem 13843 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  K ) x )  =  ( y ( +g  `  L ) x ) )
54ancom2s 778 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  K ) x )  =  ( y ( +g  `  L ) x ) )
65eqeq1d 2396 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  K ) x )  =  y  <-> 
( y ( +g  `  L ) x )  =  y ) )
72, 6anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y )  <->  ( (
x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
87anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( x ( +g  `  K ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K ) x )  =  y )  <->  ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
98ralbidva 2666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  K ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K ) x )  =  y )  <->  A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  L ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L ) x )  =  y ) ) )
109pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
11 mndpropd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
1211eleq2d 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  K
) ) )
1311raleqdv 2854 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y )  <->  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) )
1412, 13anbi12d 692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) ) )
15 mndpropd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
1615eleq2d 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  L
) ) )
1715raleqdv 2854 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y )  <->  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
1816, 17anbi12d 692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  L
)  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
1910, 14, 183bitr3d 275 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  L
)  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
2019iotabidv 5380 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( x  e.  ( Base `  K )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) )  =  ( iota x
( x  e.  (
Base `  L )  /\  A. y  e.  (
Base `  L )
( ( x ( +g  `  L ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L ) x )  =  y ) ) ) )
21 eqid 2388 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
22 eqid 2388 . . 3  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
23 eqid 2388 . . 3  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
2421, 22, 23grpidval 14635 . 2  |-  ( 0g
`  K )  =  ( iota x ( x  e.  ( Base `  K )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) )
25 eqid 2388 . . 3  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
26 eqid 2388 . . 3  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
27 eqid 2388 . . 3  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
2825, 26, 27grpidval 14635 . 2  |-  ( 0g
`  L )  =  ( iota x ( x  e.  ( Base `  L )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
2920, 24, 283eqtr4g 2445 1  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   iotacio 5357   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   0gc0g 13651
This theorem is referenced by:  mhmpropd  14672  gsumpropd  14704  grppropd  14751  grpinvpropd  14794  mulgpropd  14851  prds1  15648  rngidpropd  15728  drngprop  15774  drngpropd  15790  abvpropd  15858  lbspropd  16099  sralmod0  16187  opsr0  16540  mplbaspropd  16558  ply1mpl0  16577  phlpropd  16810  nmpropd  18513  nmpropd2  18514  tng0  18556  mdegpropd  19875  ply1divalg2  19929  gsumpropd2lem  24050  zlm0  24148  mat0  27142  hlhils0  32064  hlhil0  32074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fv 5403  df-ov 6024  df-0g 13655
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