Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpidval Structured version   Unicode version

Theorem grpidval 14707
 Description: The value of the identity element of a group. (Contributed by NM, 20-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpidval.b
grpidval.p
grpidval.o
Assertion
Ref Expression
grpidval
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem grpidval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpidval.o . 2
2 fveq2 5728 . . . . . . . 8
3 grpidval.b . . . . . . . 8
42, 3syl6eqr 2486 . . . . . . 7
54eleq2d 2503 . . . . . 6
6 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
7 grpidval.p . . . . . . . . . . 11
86, 7syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10
98oveqd 6098 . . . . . . . . 9
109eqeq1d 2444 . . . . . . . 8
118oveqd 6098 . . . . . . . . 9
1211eqeq1d 2444 . . . . . . . 8
1310, 12anbi12d 692 . . . . . . 7
144, 13raleqbidv 2916 . . . . . 6
155, 14anbi12d 692 . . . . 5
1615iotabidv 5439 . . . 4
17 df-0g 13727 . . . 4
18 iotaex 5435 . . . 4
1916, 17, 18fvmpt 5806 . . 3
20 fvprc 5722 . . . 4
21 euex 2304 . . . . . . 7
22 n0i 3633 . . . . . . . . . 10
23 fvprc 5722 . . . . . . . . . . 11
243, 23syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10
2522, 24nsyl2 121 . . . . . . . . 9
2625adantr 452 . . . . . . . 8
2726exlimiv 1644 . . . . . . 7
2821, 27syl 16 . . . . . 6
2928con3i 129 . . . . 5
30 iotanul 5433 . . . . 5
3129, 30syl 16 . . . 4
3220, 31eqtr4d 2471 . . 3
3319, 32pm2.61i 158 . 2
341, 33eqtri 2456 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  weu 2281  wral 2705  cvv 2956  c0 3628  cio 5416  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723 This theorem is referenced by:  0g0  14709  ismgmid  14710  grpidpropd  14722  oppgid  15152  dfur2  15667  oppr0  15738  oppr1  15739 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-0g 13727
 Copyright terms: Public domain W3C validator