Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvadd Unicode version

Theorem grpinvadd 14544
 Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvadd.b
grpinvadd.p
grpinvadd.n
Assertion
Ref Expression
grpinvadd

Proof of Theorem grpinvadd
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4
2 simp2 956 . . . 4
3 simp3 957 . . . 4
4 grpinvadd.b . . . . . . 7
5 grpinvadd.n . . . . . . 7
64, 5grpinvcl 14527 . . . . . 6
763adant2 974 . . . . 5
84, 5grpinvcl 14527 . . . . . 6
983adant3 975 . . . . 5
10 grpinvadd.p . . . . . 6
114, 10grpcl 14495 . . . . 5
121, 7, 9, 11syl3anc 1182 . . . 4
134, 10grpass 14496 . . . 4
141, 2, 3, 12, 13syl13anc 1184 . . 3
15 eqid 2283 . . . . . . . 8
164, 10, 15, 5grprinv 14529 . . . . . . 7
17163adant2 974 . . . . . 6
1817oveq1d 5873 . . . . 5
194, 10grpass 14496 . . . . . 6
201, 3, 7, 9, 19syl13anc 1184 . . . . 5
214, 10, 15grplid 14512 . . . . . 6
221, 9, 21syl2anc 642 . . . . 5
2318, 20, 223eqtr3d 2323 . . . 4
2423oveq2d 5874 . . 3
254, 10, 15, 5grprinv 14529 . . . 4
26253adant3 975 . . 3
2714, 24, 263eqtrd 2319 . 2
284, 10grpcl 14495 . . 3
294, 10, 15, 5grpinvid1 14530 . . 3
301, 28, 12, 29syl3anc 1182 . 2
3127, 30mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  c0g 13400  cgrp 14362  cminusg 14363 This theorem is referenced by:  grpinvsub  14548  mulgdir  14592  eqger  14667  eqgcpbl  14671  invoppggim  14833  sylow2blem1  14931  lsmsubg  14965  ablinvadd  15111  ablsub2inv  15112  invghm  15130 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490
 Copyright terms: Public domain W3C validator