MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvadd Unicode version

Theorem grpinvadd 14544
Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinvadd.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvadd  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )

Proof of Theorem grpinvadd
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
2 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 grpinvadd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpinvadd.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv g `  G )
64, 5grpinvcl 14527 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
763adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
84, 5grpinvcl 14527 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
983adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
10 grpinvadd.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
114, 10grpcl 14495 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  Y )  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B )  ->  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )
121, 7, 9, 11syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B )
134, 10grpass 14496 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) ) )
141, 2, 3, 12, 13syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) ) ) ) )
15 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
164, 10, 15, 5grprinv 14529 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
17163adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
1817oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( N `  X ) ) )
194, 10grpass 14496 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  ( N `  Y
)  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( ( Y 
.+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `  X ) )  =  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )
201, 3, 7, 9, 19syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( Y  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) ) )
214, 10, 15grplid 14512 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  X )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
221, 9, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
2318, 20, 223eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( N `  X ) )
2423oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )  =  ( X  .+  ( N `  X )
) )
254, 10, 15, 5grprinv 14529 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
26253adant3 975 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
2714, 24, 263eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
284, 10grpcl 14495 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
294, 10, 15, 5grpinvid1 14530 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B  /\  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )  ->  (
( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
301, 28, 12, 29syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
3127, 30mpbird 223 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363
This theorem is referenced by:  grpinvsub  14548  mulgdir  14592  eqger  14667  eqgcpbl  14671  invoppggim  14833  sylow2blem1  14931  lsmsubg  14965  ablinvadd  15111  ablsub2inv  15112  invghm  15130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490
  Copyright terms: Public domain W3C validator