Theorem grpinvcl 8064

Description: A group element's inverse is a group element.

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.1	|- X = ran G
grpinvcl.2	|- N = (inv` G)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` A) e. X)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.1	. . 3 |- X = ran G
2		eqid 1478	. . 3 |- (Id` G) = (Id` G)
3		grpinvcl.2	. . 3 |- N = (inv` G)
4	1, 2, 3	grpinvval 8063	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` A) = U.{y e. X | (yGA) = (Id` G)})
5	1, 2	grpinveu 8060	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> E!y e. X (yGA) = (Id` G))
6		reucl 2891	. . 3 |- (E!y e. X (yGA) = (Id` G) -> U.{y e. X | (yGA) = (Id` G)} e. X)
7	5, 6	syl 10	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> U.{y e. X | (yGA) = (Id` G)} e. X)
8	4, 7	eqeltrd 1551	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` A) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E!wreu 1650  {crab 1651  U.cuni 2507  ran crn 3177  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030  Idcgi 8031  invcgn 8032

This theorem is referenced by:  grpinv 8065  grpinvid1 8068  grpinvid2 8069  grplcan 8071  grpasscan1 8073  grp2inv 8074  grpinvf 8075  grpinvop 8076  grpdivinv 8079  grpinvdiv 8080  grpdivf 8081  grpmuldivass 8084  grpnpcan 8087  grppnpcan2 8088  grpnnncan2 8089  grplactf1o 8094  abldivdiv4 8105  ghgrpilem3 8131  vcm 8186  ghomgrpilem2 10381  ghomf1olem 10391

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036

Copyright terms: Public domain