MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvcl Unicode version

Theorem grpinvcl 14527
Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )

Proof of Theorem grpinvcl
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( inv g `  G )
31, 2grpinvf 14526 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
4 ffvelrn 5663 . 2  |-  ( ( N : B --> B  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
53, 4sylan 457 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   -->wf 5251   ` cfv 5255   Basecbs 13148   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363
This theorem is referenced by:  grprinv  14529  grpinvid1  14530  grpinvid2  14531  grplcan  14534  grpinvinv  14535  grpinvcnv  14536  grpinvnzcl  14540  grpsubinv  14541  grplmulf1o  14542  grpinvadd  14544  grpsubf  14545  grpsubrcan  14547  grpinvsub  14548  grpinvval2  14549  grpsubeq0  14552  grpsubadd  14553  grpaddsubass  14555  grpnpcan  14557  grplactcnv  14564  grpsubpropd2  14567  mulgcl  14584  mulgneg2  14594  prdsinvlem  14603  pwssub  14608  imasgrp  14611  subginv  14628  subginvcl  14630  issubg4  14638  isnsg3  14651  subgacs  14652  nmzsubg  14658  eqger  14667  eqglact  14668  eqgcpbl  14671  divsgrp  14672  divsinv  14676  divssub  14677  ghminv  14690  ghmsub  14691  ghmrn  14696  ghmpreima  14704  ghmeql  14705  conjghm  14713  conjnmz  14716  galcan  14758  gacan  14759  gapm  14760  gaorber  14762  gastacl  14763  gastacos  14764  cntzsubg  14812  oppggrp  14830  odinv  14874  sylow2blem1  14931  sylow2blem3  14933  frgpuptf  15079  frgpuplem  15081  ablinvadd  15111  ablsub2inv  15112  ablsub4  15114  ablsubsub4  15120  mulgsubdi  15129  invghm  15130  eqgabl  15131  torsubg  15146  oddvdssubg  15147  cyggeninv  15170  rngnegl  15380  rngnegr  15381  rngmneg1  15382  rngmneg2  15383  rngm2neg  15384  rngsubdi  15385  rngsubdir  15386  dvdsrneg  15436  unitinvcl  15456  unitnegcl  15463  isdrng2  15522  cntzsubr  15577  abvneg  15599  abvsubtri  15600  lmodvnegcl  15665  lmodvneg1  15667  lmodvsnegOLD  15668  lmodvsneg  15669  lmodsubvs  15681  lmodsubdi  15682  lmodsubdir  15683  lssvsubcl  15701  lssvnegcl  15713  lspsnneg  15763  lmodvsinv  15793  lmodvsinv2  15794  lspexch  15882  lspsolvlem  15895  mplsubglem  16179  mplind  16243  tgplacthmeo  17786  tgpconcomp  17795  divstgpopn  17802  tsmsxplem1  17835  tlmtgp  17878  isngp4  18133  ngpinvds  18134  ngpsubcan  18135  nmtri  18147  ngptgp  18152  deg1suble  19493  deg1sub  19494  dchr2sum  20512  dchrisum0re  20662  dsmmsubg  27209  symgsssg  27408  symgfisg  27409  lflsub  29257  lflnegcl  29265  ldualvsubcl  29346  ldualvsubval  29347  dvhgrp  31297  lcfrlem2  31733  lcdvsubval  31808  mapdpglem30  31892  baerlem3lem1  31897  baerlem5alem1  31898  baerlem5blem1  31899  baerlem5blem2  31902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490
  Copyright terms: Public domain W3C validator