MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvcl Unicode version

Theorem grpinvcl 14543
Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )

Proof of Theorem grpinvcl
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( inv g `  G )
31, 2grpinvf 14542 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
4 ffvelrn 5679 . 2  |-  ( ( N : B --> B  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
53, 4sylan 457 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   -->wf 5267   ` cfv 5271   Basecbs 13164   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379
This theorem is referenced by:  grprinv  14545  grpinvid1  14546  grpinvid2  14547  grplcan  14550  grpinvinv  14551  grpinvcnv  14552  grpinvnzcl  14556  grpsubinv  14557  grplmulf1o  14558  grpinvadd  14560  grpsubf  14561  grpsubrcan  14563  grpinvsub  14564  grpinvval2  14565  grpsubeq0  14568  grpsubadd  14569  grpaddsubass  14571  grpnpcan  14573  grplactcnv  14580  grpsubpropd2  14583  mulgcl  14600  mulgneg2  14610  prdsinvlem  14619  pwssub  14624  imasgrp  14627  subginv  14644  subginvcl  14646  issubg4  14654  isnsg3  14667  subgacs  14668  nmzsubg  14674  eqger  14683  eqglact  14684  eqgcpbl  14687  divsgrp  14688  divsinv  14692  divssub  14693  ghminv  14706  ghmsub  14707  ghmrn  14712  ghmpreima  14720  ghmeql  14721  conjghm  14729  conjnmz  14732  galcan  14774  gacan  14775  gapm  14776  gaorber  14778  gastacl  14779  gastacos  14780  cntzsubg  14828  oppggrp  14846  odinv  14890  sylow2blem1  14947  sylow2blem3  14949  frgpuptf  15095  frgpuplem  15097  ablinvadd  15127  ablsub2inv  15128  ablsub4  15130  ablsubsub4  15136  mulgsubdi  15145  invghm  15146  eqgabl  15147  torsubg  15162  oddvdssubg  15163  cyggeninv  15186  rngnegl  15396  rngnegr  15397  rngmneg1  15398  rngmneg2  15399  rngm2neg  15400  rngsubdi  15401  rngsubdir  15402  dvdsrneg  15452  unitinvcl  15472  unitnegcl  15479  isdrng2  15538  cntzsubr  15593  abvneg  15615  abvsubtri  15616  lmodvnegcl  15681  lmodvneg1  15683  lmodvsnegOLD  15684  lmodvsneg  15685  lmodsubvs  15697  lmodsubdi  15698  lmodsubdir  15699  lssvsubcl  15717  lssvnegcl  15729  lspsnneg  15779  lmodvsinv  15809  lmodvsinv2  15810  lspexch  15898  lspsolvlem  15911  mplsubglem  16195  mplind  16259  tgplacthmeo  17802  tgpconcomp  17811  divstgpopn  17818  tsmsxplem1  17851  tlmtgp  17894  isngp4  18149  ngpinvds  18150  ngpsubcan  18151  nmtri  18163  ngptgp  18168  deg1suble  19509  deg1sub  19510  dchr2sum  20528  dchrisum0re  20678  dsmmsubg  27312  symgsssg  27511  symgfisg  27512  lflsub  29879  lflnegcl  29887  ldualvsubcl  29968  ldualvsubval  29969  dvhgrp  31919  lcfrlem2  32355  lcdvsubval  32430  mapdpglem30  32514  baerlem3lem1  32519  baerlem5alem1  32520  baerlem5blem1  32521  baerlem5blem2  32524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506
  Copyright terms: Public domain W3C validator