MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvcl Structured version   Unicode version

Theorem grpinvcl 14850
Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )

Proof of Theorem grpinvcl
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( inv g `  G )
31, 2grpinvf 14849 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
43ffvelrnda 5870 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454   Basecbs 13469   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686
This theorem is referenced by:  grprinv  14852  grpinvid1  14853  grpinvid2  14854  grplcan  14857  grpinvinv  14858  grpinvcnv  14859  grpinvnzcl  14863  grpsubinv  14864  grplmulf1o  14865  grpinvadd  14867  grpsubf  14868  grpsubrcan  14870  grpinvsub  14871  grpinvval2  14872  grpsubeq0  14875  grpsubadd  14876  grpaddsubass  14878  grpnpcan  14880  grplactcnv  14887  grpsubpropd2  14890  mulgcl  14907  mulgneg2  14917  prdsinvlem  14926  pwssub  14931  imasgrp  14934  subginv  14951  subginvcl  14953  issubg4  14961  isnsg3  14974  subgacs  14975  nmzsubg  14981  eqger  14990  eqglact  14991  eqgcpbl  14994  divsgrp  14995  divsinv  14999  divssub  15000  ghminv  15013  ghmsub  15014  ghmrn  15019  ghmpreima  15027  ghmeql  15028  conjghm  15036  conjnmz  15039  galcan  15081  gacan  15082  gapm  15083  gaorber  15085  gastacl  15086  gastacos  15087  cntzsubg  15135  oppggrp  15153  odinv  15197  sylow2blem1  15254  sylow2blem3  15256  frgpuptf  15402  frgpuplem  15404  ablinvadd  15434  ablsub2inv  15435  ablsub4  15437  ablsubsub4  15443  mulgsubdi  15452  invghm  15453  eqgabl  15454  torsubg  15469  oddvdssubg  15470  cyggeninv  15493  rngnegl  15703  rngnegr  15704  rngmneg1  15705  rngmneg2  15706  rngm2neg  15707  rngsubdi  15708  rngsubdir  15709  dvdsrneg  15759  unitinvcl  15779  unitnegcl  15786  isdrng2  15845  cntzsubr  15900  abvneg  15922  abvsubtri  15923  lmodvnegcl  15985  lmodvneg1  15987  lmodvsneg  15988  lmodsubvs  16000  lmodsubdi  16001  lmodsubdir  16002  lssvsubcl  16020  lssvnegcl  16032  lspsnneg  16082  lmodvsinv  16112  lmodvsinv2  16113  lspexch  16201  lspsolvlem  16214  mplsubglem  16498  mplind  16562  tgplacthmeo  18133  tgpconcomp  18142  divstgpopn  18149  tsmsxplem1  18182  tlmtgp  18225  isngp4  18658  ngpinvds  18659  ngpsubcan  18660  nmtri  18672  ngptgp  18677  deg1suble  20030  deg1sub  20031  dchr2sum  21057  dchrisum0re  21207  ofldsqr  24240  dsmmsubg  27186  symgsssg  27385  symgfisg  27386  lflsub  29865  lflnegcl  29873  ldualvsubcl  29954  ldualvsubval  29955  dvhgrp  31905  lcfrlem2  32341  lcdvsubval  32416  mapdpglem30  32500  baerlem3lem1  32505  baerlem5alem1  32506  baerlem5blem1  32507  baerlem5blem2  32510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813
  Copyright terms: Public domain W3C validator