MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf Unicode version

Theorem grpinvf 14625
Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvf  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )

Proof of Theorem grpinvf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2358 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2358 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3grpinveu 14615 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
5 riotacl 6406 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
)  ->  ( iota_ y  e.  B ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )  e.  B
)
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( iota_ y  e.  B
( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )  e.  B )
7 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( inv g `  G )
81, 2, 3, 7grpinvfval 14619 . 2  |-  N  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ y  e.  B
( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
96, 8fmptd 5767 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E!wreu 2621   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   iota_crio 6384   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   0gc0g 13499   Grpcgrp 14461   inv gcminusg 14462
This theorem is referenced by:  grpinvcl  14626  isgrpinv  14631  grpinvcnv  14635  grpinvf1o  14637  pwsinvg  14706  pwssub  14707  oppginv  14931  invoppggim  14932  invghm  15229  gsumzinv  15316  dprdfinv  15353  istgp2  17876  symgtgp  17886  subgtgp  17890  tgpconcomp  17897  prdstgpd  17909  tsmssub  17933  tsmsxplem1  17937  tlmtgp  17980  nrginvrcn  18304  symgtrinv  26736  grpvlinv  26773  grpvrinv  26774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-riota 6391  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589
  Copyright terms: Public domain W3C validator