MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf Structured version   Unicode version

Theorem grpinvf 14849
Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvf  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )

Proof of Theorem grpinvf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2436 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3grpinveu 14839 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
5 riotacl 6564 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
)  ->  ( iota_ y  e.  B ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )  e.  B
)
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( iota_ y  e.  B
( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )  e.  B )
7 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( inv g `  G )
81, 2, 3, 7grpinvfval 14843 . 2  |-  N  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ y  e.  B
( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
96, 8fmptd 5893 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!wreu 2707   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686
This theorem is referenced by:  grpinvcl  14850  isgrpinv  14855  grpinvcnv  14859  grpinvf1o  14861  pwsinvg  14930  pwssub  14931  oppginv  15155  invoppggim  15156  invghm  15453  gsumzinv  15540  dprdfinv  15577  istgp2  18121  symgtgp  18131  subgtgp  18135  tgpconcomp  18142  prdstgpd  18154  tsmssub  18178  tsmsxplem1  18182  tlmtgp  18225  nrginvrcn  18727  symgtrinv  27390  grpvlinv  27427  grpvrinv  27428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813
  Copyright terms: Public domain W3C validator