Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvfval Unicode version

Theorem grpinvfval 14520
 Description: The inverse function of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvval.b
grpinvval.p
grpinvval.o
grpinvval.n
Assertion
Ref Expression
grpinvfval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem grpinvfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvval.n . 2
2 fveq2 5525 . . . . . 6
3 grpinvval.b . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2333 . . . . 5
5 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
6 grpinvval.p . . . . . . . . 9
75, 6syl6eqr 2333 . . . . . . . 8
87oveqd 5875 . . . . . . 7
9 fveq2 5525 . . . . . . . 8
10 grpinvval.o . . . . . . . 8
119, 10syl6eqr 2333 . . . . . . 7
128, 11eqeq12d 2297 . . . . . 6
134, 12riotaeqbidv 6307 . . . . 5
144, 13mpteq12dv 4098 . . . 4
15 df-minusg 14490 . . . 4
16 fvex 5539 . . . . . 6
173, 16eqeltri 2353 . . . . 5
1817mptex 5746 . . . 4
1914, 15, 18fvmpt 5602 . . 3
20 fvprc 5519 . . . . 5
21 mpt0 5371 . . . . 5
2220, 21syl6eqr 2333 . . . 4
23 fvprc 5519 . . . . . 6
243, 23syl5eq 2327 . . . . 5
25 mpteq1 4100 . . . . 5
2624, 25syl 15 . . . 4
2722, 26eqtr4d 2318 . . 3
2819, 27pm2.61i 156 . 2
291, 28eqtri 2303 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788  c0 3455   cmpt 4077  cfv 5255  (class class class)co 5858  crio 6297  cbs 13148   cplusg 13208  c0g 13400  cminusg 14363 This theorem is referenced by:  grpinvval  14521  grpinvfn  14522  grpinvf  14526  grpinvpropd  14543  opprneg  15417 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-minusg 14490
 Copyright terms: Public domain W3C validator