Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvpropd Structured version   Unicode version

Theorem grpinvpropd 14858
 Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same group inversion function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvpropd.1
grpinvpropd.2
grpinvpropd.3
Assertion
Ref Expression
grpinvpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem grpinvpropd
StepHypRef Expression
1 grpinvpropd.3 . . . . . . 7
2 grpinvpropd.1 . . . . . . . . 9
3 grpinvpropd.2 . . . . . . . . 9
42, 3, 1grpidpropd 14714 . . . . . . . 8
54adantr 452 . . . . . . 7
61, 5eqeq12d 2449 . . . . . 6
76anass1rs 783 . . . . 5
87riotabidva 6558 . . . 4
98mpteq2dva 4287 . . 3
102riotaeqdv 6542 . . . 4
112, 10mpteq12dv 4279 . . 3
123riotaeqdv 6542 . . . 4
133, 12mpteq12dv 4279 . . 3
149, 11, 133eqtr3d 2475 . 2
15 eqid 2435 . . 3
16 eqid 2435 . . 3
17 eqid 2435 . . 3
18 eqid 2435 . . 3
1915, 16, 17, 18grpinvfval 14835 . 2
20 eqid 2435 . . 3
21 eqid 2435 . . 3
22 eqid 2435 . . 3
23 eqid 2435 . . 3
2420, 21, 22, 23grpinvfval 14835 . 2
2514, 19, 243eqtr4g 2492 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073  crio 6534  cbs 13461   cplusg 13521  c0g 13715  cminusg 14678 This theorem is referenced by:  grpsubpropd  14881  grpsubpropd2  14882  mulgpropd  14915  invrpropd  15795  rlmvneg  16270  matinvg  27431 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-0g 13719  df-minusg 14805
 Copyright terms: Public domain W3C validator