Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplactcnv Structured version   Unicode version

Theorem grplactcnv 14889
 Description: The left group action of element of group maps the underlying set of one-to-one onto itself. (Contributed by Paul Chapman, 18-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grplact.1
grplact.2
grplact.3
grplactcnv.4
Assertion
Ref Expression
grplactcnv
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem grplactcnv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3
2 grplact.2 . . . . 5
3 grplact.3 . . . . 5
42, 3grpcl 14820 . . . 4
543expa 1154 . . 3
6 simpl 445 . . . . 5
7 grplactcnv.4 . . . . . 6
82, 7grpinvcl 14852 . . . . 5
96, 8jca 520 . . . 4
102, 3grpcl 14820 . . . . 5
11103expa 1154 . . . 4
129, 11sylan 459 . . 3
13 eqcom 2440 . . . . 5
14 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
152, 3, 14, 7grplinv 14853 . . . . . . . . 9
1615adantr 453 . . . . . . . 8
1716oveq1d 6098 . . . . . . 7
18 simpll 732 . . . . . . . 8
198adantr 453 . . . . . . . 8
20 simplr 733 . . . . . . . 8
21 simprl 734 . . . . . . . 8
222, 3grpass 14821 . . . . . . . 8
2318, 19, 20, 21, 22syl13anc 1187 . . . . . . 7
242, 3, 14grplid 14837 . . . . . . . 8
2524ad2ant2r 729 . . . . . . 7
2617, 23, 253eqtr3rd 2479 . . . . . 6
2726eqeq2d 2449 . . . . 5
2813, 27syl5bb 250 . . . 4
29 simprr 735 . . . . 5
305adantrr 699 . . . . 5
312, 3grplcan 14859 . . . . 5
3218, 29, 30, 19, 31syl13anc 1187 . . . 4
3328, 32bitrd 246 . . 3
341, 5, 12, 33f1ocnv2d 6297 . 2
35 grplact.1 . . . . . 6
3635, 2grplactfval 14887 . . . . 5
3736adantl 454 . . . 4
38 f1oeq1 5667 . . . 4
3937, 38syl 16 . . 3
4037cnveqd 5050 . . . 4
4135, 2grplactfval 14887 . . . . . 6
42 oveq2 6091 . . . . . . 7
4342cbvmptv 4302 . . . . . 6
4441, 43syl6eq 2486 . . . . 5
458, 44syl 16 . . . 4
4640, 45eqeq12d 2452 . . 3
4739, 46anbi12d 693 . 2
4834, 47mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cmpt 4268  ccnv 4879  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725  cgrp 14687  cminusg 14688 This theorem is referenced by:  grplactf1o  14890  eqglact  14993  tgplacthmeo  18135  tgpconcompeqg  18143 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-riota 6551  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815
 Copyright terms: Public domain W3C validator