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Theorem grplcan 14812
Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grplcan.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grplcan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem grplcan
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
21adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
3 grplcan.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 grplcan.p . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
5 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
6 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
73, 4, 5, 6grplinv 14806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
87adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
98oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  .+  X )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  X )
)
103, 6grpinvcl 14805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
1110adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
12 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
13 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
1411, 12, 133jca 1134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  X  e.  B )
)
153, 4grpass 14774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  Z )  .+  Z )  .+  X
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
1614, 15syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  X
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
1716anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  .+  X )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
183, 4, 5grplid 14790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X
)  =  X )
1918adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X )  =  X )
209, 17, 193eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
2120adantrl 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
237adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
2423oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  Y ) )
2510adantrl 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
26 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
27 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
2825, 26, 273jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
293, 4grpass 14774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
3028, 29syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
313, 4, 5grplid 14790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  Y
)  =  Y )
3231adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  Y )  =  Y )
3324, 30, 323eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
3433adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
3534adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
362, 22, 353eqtr3d 2444 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  X  =  Y )
3736exp53 601 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y )  ->  X  =  Y ) ) ) ) )
38373imp2 1168 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  ->  X  =  Y )
)
39 oveq2 6048 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y
) )
4038, 39impbid1 195 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641
This theorem is referenced by:  grpinvinv  14813  grplmulf1o  14820  grplactcnv  14842  conjghm  14991  conjnmzb  14995  sylow3lem2  15217  gex2abl  15421  rngcom  15647  rnglz  15655  lmodlcan  15921  isnumbasgrplem2  27137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-riota 6508  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768
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