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Theorem grplcan 14862
Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grplcan.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grplcan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem grplcan
StepHypRef Expression
1 oveq2 6092 . . . . . 6  |-  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
21adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
3 grplcan.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 grplcan.p . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
5 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
6 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
73, 4, 5, 6grplinv 14856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
87adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
98oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  .+  X )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  X )
)
103, 6grpinvcl 14855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
1110adantrl 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
12 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
13 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
1411, 12, 133jca 1135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  X  e.  B )
)
153, 4grpass 14824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  Z )  .+  Z )  .+  X
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
1614, 15syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  X
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
1716anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  .+  X )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
183, 4, 5grplid 14840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X
)  =  X )
1918adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X )  =  X )
209, 17, 193eqtr3d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
2120adantrl 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
2221adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
237adantrl 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
2423oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  Y ) )
2510adantrl 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
26 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
27 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
2825, 26, 273jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
293, 4grpass 14824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
3028, 29syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
313, 4, 5grplid 14840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  Y
)  =  Y )
3231adantrr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  Y )  =  Y )
3324, 30, 323eqtr3d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
3433adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
3534adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
362, 22, 353eqtr3d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  X  =  Y )
3736exp53 602 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y )  ->  X  =  Y ) ) ) ) )
38373imp2 1169 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  ->  X  =  Y )
)
39 oveq2 6092 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y
) )
4038, 39impbid1 196 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691
This theorem is referenced by:  grpinvinv  14863  grplmulf1o  14870  grplactcnv  14892  conjghm  15041  conjnmzb  15045  sylow3lem2  15267  gex2abl  15471  rngcom  15697  rnglz  15705  lmodlcan  15971  isnumbasgrplem2  27260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-riota 6552  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818
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