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Theorem grplcan 14627
Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grplcan.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grplcan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem grplcan
StepHypRef Expression
1 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
21adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
3 grplcan.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 grplcan.p . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
5 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
6 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
73, 4, 5, 6grplinv 14621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
87adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
98oveq1d 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  .+  X )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  X )
)
103, 6grpinvcl 14620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
1110adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
12 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
13 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
1411, 12, 133jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  X  e.  B )
)
153, 4grpass 14589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  Z )  .+  Z )  .+  X
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
1614, 15syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  X
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
1716anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  .+  X )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
183, 4, 5grplid 14605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X
)  =  X )
1918adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X )  =  X )
209, 17, 193eqtr3d 2398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
2120adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
237adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
2423oveq1d 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  Y ) )
2510adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
26 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
27 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
2825, 26, 273jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
293, 4grpass 14589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
3028, 29syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
313, 4, 5grplid 14605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  Y
)  =  Y )
3231adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  Y )  =  Y )
3324, 30, 323eqtr3d 2398 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
3433adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
3534adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
362, 22, 353eqtr3d 2398 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  X  =  Y )
3736exp53 600 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y )  ->  X  =  Y ) ) ) ) )
38373imp2 1166 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  ->  X  =  Y )
)
39 oveq2 5950 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y
) )
4038, 39impbid1 194 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   +g cplusg 13299   0gc0g 13493   Grpcgrp 14455   inv gcminusg 14456
This theorem is referenced by:  grpinvinv  14628  grplmulf1o  14635  grplactcnv  14657  conjghm  14806  conjnmzb  14810  sylow3lem2  15032  gex2abl  15236  rngcom  15462  rnglz  15470  lmodlcan  15736  isnumbasgrplem2  26592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-riota 6388  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-minusg 14583
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