MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplid Unicode version

Theorem grplid 14512
Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
grplid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )

Proof of Theorem grplid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14494 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 grplid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
52, 3, 4mndlid 14393 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
61, 5sylan 457 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362
This theorem is referenced by:  grprcan  14515  grpid  14517  isgrpid2  14518  grprinv  14529  grpinvid1  14530  grpinvid2  14531  grpinvid  14533  grplcan  14534  grplmulf1o  14542  grpinvadd  14544  grpinvval2  14549  grplactcnv  14564  mulgdirlem  14591  imasgrp  14611  subg0  14627  issubg2  14636  issubg4  14638  0subg  14642  isnsg3  14651  nmzsubg  14658  ssnmz  14659  eqger  14667  eqgid  14669  divsgrp  14672  divs0  14675  ghmid  14689  conjghm  14713  conjnmz  14716  subgga  14754  cntzsubg  14812  sylow1lem2  14910  sylow2blem2  14932  sylow2blem3  14933  sylow3lem1  14938  lsmmod  14984  lsmdisj2  14991  pj1rid  15011  abladdsub4  15115  ablpncan2  15117  ablpnpcan  15121  ablnncan  15122  odadd1  15140  odadd2  15141  oddvdssubg  15147  dprdfadd  15255  pgpfac1lem3a  15311  rnglz  15377  rngrz  15378  isabvd  15585  lmod0vlid  15660  lmod0vs  15663  psr0lid  16140  mplsubglem  16179  mplcoe1  16209  ocvlss  16572  lsmcss  16592  ghmcnp  17797  tgpt0  17801  divstgpopn  17802  mdegaddle  19460  ply1rem  19549  lfl0f  29259  lfladd0l  29264  lkrlss  29285  lkrin  29354  dvhgrp  31297  baerlem3lem1  31897  mapdh6bN  31927  hdmap1l6b  32002  hdmapinvlem3  32113  hdmapinvlem4  32114  hdmapglem7b  32121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489
  Copyright terms: Public domain W3C validator