MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplid Structured version   Unicode version

Theorem grplid 14827
Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
grplid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )

Proof of Theorem grplid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14809 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 grplid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
52, 3, 4mndlid 14708 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
61, 5sylan 458 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677
This theorem is referenced by:  grprcan  14830  grpid  14832  isgrpid2  14833  grprinv  14844  grpinvid1  14845  grpinvid2  14846  grpinvid  14848  grplcan  14849  grplmulf1o  14857  grpinvadd  14859  grpinvval2  14864  grplactcnv  14879  mulgdirlem  14906  imasgrp  14926  subg0  14942  issubg2  14951  issubg4  14953  0subg  14957  isnsg3  14966  nmzsubg  14973  ssnmz  14974  eqger  14982  eqgid  14984  divsgrp  14987  divs0  14990  ghmid  15004  conjghm  15028  conjnmz  15031  subgga  15069  cntzsubg  15127  sylow1lem2  15225  sylow2blem2  15247  sylow2blem3  15248  sylow3lem1  15253  lsmmod  15299  lsmdisj2  15306  pj1rid  15326  abladdsub4  15430  ablpncan2  15432  ablpnpcan  15436  ablnncan  15437  odadd1  15455  odadd2  15456  oddvdssubg  15462  dprdfadd  15570  pgpfac1lem3a  15626  rnglz  15692  rngrz  15693  isabvd  15900  lmod0vlid  15972  lmod0vs  15975  psr0lid  16451  mplsubglem  16490  mplcoe1  16520  ocvlss  16891  lsmcss  16911  ghmcnp  18136  tgpt0  18140  divstgpopn  18141  mdegaddle  19989  ply1rem  20078  ofldsqr  24232  ofldchr  24236  lfl0f  29804  lfladd0l  29809  lkrlss  29830  lkrin  29899  dvhgrp  31842  baerlem3lem1  32442  mapdh6bN  32472  hdmap1l6b  32547  hdmapinvlem3  32658  hdmapinvlem4  32659  hdmapglem7b  32666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804
  Copyright terms: Public domain W3C validator