MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplid Unicode version

Theorem grplid 14528
Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
grplid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )

Proof of Theorem grplid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14510 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 grplid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
52, 3, 4mndlid 14409 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
61, 5sylan 457 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378
This theorem is referenced by:  grprcan  14531  grpid  14533  isgrpid2  14534  grprinv  14545  grpinvid1  14546  grpinvid2  14547  grpinvid  14549  grplcan  14550  grplmulf1o  14558  grpinvadd  14560  grpinvval2  14565  grplactcnv  14580  mulgdirlem  14607  imasgrp  14627  subg0  14643  issubg2  14652  issubg4  14654  0subg  14658  isnsg3  14667  nmzsubg  14674  ssnmz  14675  eqger  14683  eqgid  14685  divsgrp  14688  divs0  14691  ghmid  14705  conjghm  14729  conjnmz  14732  subgga  14770  cntzsubg  14828  sylow1lem2  14926  sylow2blem2  14948  sylow2blem3  14949  sylow3lem1  14954  lsmmod  15000  lsmdisj2  15007  pj1rid  15027  abladdsub4  15131  ablpncan2  15133  ablpnpcan  15137  ablnncan  15138  odadd1  15156  odadd2  15157  oddvdssubg  15163  dprdfadd  15271  pgpfac1lem3a  15327  rnglz  15393  rngrz  15394  isabvd  15601  lmod0vlid  15676  lmod0vs  15679  psr0lid  16156  mplsubglem  16195  mplcoe1  16225  ocvlss  16588  lsmcss  16608  ghmcnp  17813  tgpt0  17817  divstgpopn  17818  mdegaddle  19476  ply1rem  19565  lfl0f  29881  lfladd0l  29886  lkrlss  29907  lkrin  29976  dvhgrp  31919  baerlem3lem1  32519  mapdh6bN  32549  hdmap1l6b  32624  hdmapinvlem3  32735  hdmapinvlem4  32736  hdmapglem7b  32743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505
  Copyright terms: Public domain W3C validator