Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplmulf1o Structured version   Unicode version

Theorem grplmulf1o 14857
 Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grplmulf1o.b
grplmulf1o.p
grplmulf1o.n
Assertion
Ref Expression
grplmulf1o
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem grplmulf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grplmulf1o.n . 2
2 grplmulf1o.b . . . 4
3 grplmulf1o.p . . . 4
42, 3grpcl 14810 . . 3
543expa 1153 . 2
6 simpl 444 . . . 4
7 eqid 2435 . . . . 5
82, 7grpinvcl 14842 . . . 4
96, 8jca 519 . . 3
102, 3grpcl 14810 . . . 4
11103expa 1153 . . 3
129, 11sylan 458 . 2
13 eqcom 2437 . . 3
146adantr 452 . . . . 5
1512adantrl 697 . . . . 5
16 simprl 733 . . . . 5
17 simplr 732 . . . . 5
182, 3grplcan 14849 . . . . 5
1914, 15, 16, 17, 18syl13anc 1186 . . . 4
20 eqid 2435 . . . . . . . . 9
212, 3, 20, 7grprinv 14844 . . . . . . . 8
2221adantr 452 . . . . . . 7
2322oveq1d 6088 . . . . . 6
248adantr 452 . . . . . . 7
25 simprr 734 . . . . . . 7
262, 3grpass 14811 . . . . . . 7
2714, 17, 24, 25, 26syl13anc 1186 . . . . . 6
282, 3, 20grplid 14827 . . . . . . 7
2928ad2ant2rl 730 . . . . . 6
3023, 27, 293eqtr3d 2475 . . . . 5
3130eqeq1d 2443 . . . 4
3219, 31bitr3d 247 . . 3
3313, 32syl5bb 249 . 2
341, 5, 12, 33f1o2d 6288 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cmpt 4258  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  c0g 13715  cgrp 14677  cminusg 14678 This theorem is referenced by:  sylow1lem2  15225  sylow2blem1  15246 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805
 Copyright terms: Public domain W3C validator