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Theorem grplmulf1o 14857
Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grplmulf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplmulf1o.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplmulf1o.n  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
Assertion
Ref Expression
grplmulf1o  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x,  .+    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grplmulf1o.n . 2  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
2 grplmulf1o.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplmulf1o.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3grpcl 14810 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .+  x
)  e.  B )
543expa 1153 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( X  .+  x )  e.  B
)
6 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
7 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
82, 7grpinvcl 14842 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )
96, 8jca 519 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B ) )
102, 3grpcl 14810 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
11103expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
129, 11sylan 458 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
13 eqcom 2437 . . 3  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x )
146adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
1512adantrl 697 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
16 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
17 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
182, 3grplcan 14849 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  ( X 
.+  x )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x ) )
1914, 15, 16, 17, 18syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  =  x ) )
20 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
212, 3, 20, 7grprinv 14844 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  (
( inv g `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2221adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2322oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  y ) )
248adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )
25 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
262, 3grpass 14811 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 X ) ) 
.+  y )  =  ( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
) )
2714, 17, 24, 25, 26syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( X 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y ) ) )
282, 3, 20grplid 14827 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
2928ad2ant2rl 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
3023, 27, 293eqtr3d 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  y )
3130eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
3219, 31bitr3d 247 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  =  x  <-> 
y  =  ( X 
.+  x ) ) )
3313, 32syl5bb 249 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  =  ( ( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
341, 5, 12, 33f1o2d 6288 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4258   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678
This theorem is referenced by:  sylow1lem2  15225  sylow2blem1  15246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805
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