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Theorem grplmulf1o 14542
Description: Left multiplication by a a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grplmulf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplmulf1o.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplmulf1o.n  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
Assertion
Ref Expression
grplmulf1o  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x,  .+    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grplmulf1o.n . 2  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
2 grplmulf1o.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplmulf1o.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3grpcl 14495 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .+  x
)  e.  B )
543expa 1151 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( X  .+  x )  e.  B
)
6 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
7 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
82, 7grpinvcl 14527 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )
96, 8jca 518 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B ) )
102, 3grpcl 14495 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
11103expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
129, 11sylan 457 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
13 eqcom 2285 . . 3  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x )
146adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
1512adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
16 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
17 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
182, 3grplcan 14534 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  ( X 
.+  x )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x ) )
1914, 15, 16, 17, 18syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  =  x ) )
20 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
212, 3, 20, 7grprinv 14529 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  (
( inv g `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2221adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2322oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  y ) )
248adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )
25 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
262, 3grpass 14496 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 X ) ) 
.+  y )  =  ( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
) )
2714, 17, 24, 25, 26syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( X 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y ) ) )
282, 3, 20grplid 14512 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
2928ad2ant2rl 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
3023, 27, 293eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  y )
3130eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
3219, 31bitr3d 246 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  =  x  <-> 
y  =  ( X 
.+  x ) ) )
3313, 32syl5bb 248 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  =  ( ( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
341, 5, 12, 33f1o2d 6069 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363
This theorem is referenced by:  sylow1lem2  14910  sylow2blem1  14931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490
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