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Theorem grplmulf1o 14792
Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grplmulf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplmulf1o.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplmulf1o.n  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
Assertion
Ref Expression
grplmulf1o  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x,  .+    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grplmulf1o.n . 2  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
2 grplmulf1o.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplmulf1o.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3grpcl 14745 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .+  x
)  e.  B )
543expa 1153 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( X  .+  x )  e.  B
)
6 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
7 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
82, 7grpinvcl 14777 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )
96, 8jca 519 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B ) )
102, 3grpcl 14745 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
11103expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
129, 11sylan 458 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
13 eqcom 2389 . . 3  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x )
146adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
1512adantrl 697 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
16 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
17 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
182, 3grplcan 14784 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  ( X 
.+  x )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x ) )
1914, 15, 16, 17, 18syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  =  x ) )
20 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
212, 3, 20, 7grprinv 14779 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  (
( inv g `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2221adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2322oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  y ) )
248adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )
25 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
262, 3grpass 14746 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 X ) ) 
.+  y )  =  ( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
) )
2714, 17, 24, 25, 26syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( X 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y ) ) )
282, 3, 20grplid 14762 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
2928ad2ant2rl 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
3023, 27, 293eqtr3d 2427 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  y )
3130eqeq1d 2395 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
3219, 31bitr3d 247 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  =  x  <-> 
y  =  ( X 
.+  x ) ) )
3313, 32syl5bb 249 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  =  ( ( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
341, 5, 12, 33f1o2d 6235 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    e. cmpt 4207   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613
This theorem is referenced by:  sylow1lem2  15160  sylow2blem1  15181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-riota 6485  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740
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