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Theorem grplmulf1o 14558
Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grplmulf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplmulf1o.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplmulf1o.n  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
Assertion
Ref Expression
grplmulf1o  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x,  .+    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grplmulf1o.n . 2  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
2 grplmulf1o.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplmulf1o.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3grpcl 14511 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .+  x
)  e.  B )
543expa 1151 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( X  .+  x )  e.  B
)
6 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
7 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
82, 7grpinvcl 14543 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )
96, 8jca 518 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B ) )
102, 3grpcl 14511 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
11103expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
129, 11sylan 457 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
13 eqcom 2298 . . 3  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x )
146adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
1512adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
16 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
17 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
182, 3grplcan 14550 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  ( X 
.+  x )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x ) )
1914, 15, 16, 17, 18syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  =  x ) )
20 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
212, 3, 20, 7grprinv 14545 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  (
( inv g `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2221adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2322oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  y ) )
248adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B )
25 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
262, 3grpass 14512 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 X ) ) 
.+  y )  =  ( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
) )
2714, 17, 24, 25, 26syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( X 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y ) ) )
282, 3, 20grplid 14528 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
2928ad2ant2rl 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
3023, 27, 293eqtr3d 2336 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  y )
3130eqeq1d 2304 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
3219, 31bitr3d 246 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  X )  .+  y )  =  x  <-> 
y  =  ( X 
.+  x ) ) )
3313, 32syl5bb 248 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  =  ( ( ( inv g `  G ) `  X
)  .+  y )  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
341, 5, 12, 33f1o2d 6085 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    e. cmpt 4093   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379
This theorem is referenced by:  sylow1lem2  14926  sylow2blem1  14947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506
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